Прошло почти два месяца летних каникул, и некоторые родители наверняка начинают подбираться к своим детям с вопросами: а не хочешь ли ты немного повторить математику? Но попытки вызвать интерес к школьному учебнику обречены на провал, да и имеют ли они смысл, если вокруг 100 000 способов устроить зарядку для ума, при том совсем не так, как привыкли в школе?
Например, с помощью книги «Магия математики» можно по-новому посмотреть на этот школьный предмет, при том и детям, и взрослым, у которых решение задач у доски далеко позади.
Источник: Издательство «Альпина Паблишер»
Автор книги — Артур Бенджамин, профессор кафедры математики Колледжа Харви Мадда в Калифорнии. Он не только преподаватель, он ещё и фокусник, поэтому в книге вы найдёте множество математических трюков, чтобы развлекаться всей семьёй (например, в автомобильных пробках). А вообще эта книга поможет вам понять, что имеют в виду поклонники математики, восхищаясь красотой и изяществом математической мысли.
Начнём с простого — разберёмся в самых основах алгебры, которые мы привыкли с детства воспринимать «ну, потому что вот так».
Магия алгебры
Вступление с чудесами
Первый раз я столкнулся с алгеброй еще в детстве — мой отец вдруг решил дать мне урок вычислений:
— Сын, — сказал он мне. — Алгебра — все равно что арифметика. За тем исключением, что вместо чисел ты пишешь буквы. Вот, смотри: 2х + 3х = 5х, а 3у + 6у = 9у. Понимаешь?
— Вроде, понимаю.
— Очень хорошо, — сказал он. — А сколько тогда будет 3β + 4β?
— 7β, — уверенно ответил я.
— Что-то я тебя не слышу, — посетовал папа. — Можешь погромче?
— СЕМЬБЕТА!!! — заорал я.
— И ни одного ответа! — с готовностью отозвался папа. Он всегда предпочитал каламбуры, шутки и забавные истории скучным вычислениям, так что такой исход я мог бы и предвидеть.
Второй раз алгебра улыбнулась мне, когда я пытался понять один магический трюк — сейчас расскажу, какой.
- Задумайте число от 1 до 10 (хотя, по большому счету, можно и большее).
- Умножьте это число на 2.
- Добавьте 10.
- Разделите на 2.
- Вычтите из результата изначально задуманное вами число.
Уверен, получилось 5. Правильно?
Хотите узнать, в чем кроется секрет волшебства? В алгебре. Разберем фокус еще раз, шаг за шагом, начиная с первого. Я понятия не имею, какое число вы загадали, поэтому давайте заменим его буквой N. Неизвестное число, обозначаемое буквой, называется переменной.
Шаг второй предлагает нам удвоить загаданное число, то есть мы, по сути, имеем 2N (знак умножения в алгебре принято опускать, в том числе и потому, что очень часто для обозначения переменной используется внешне похожая на него буква x). После третьего шага ваше число выглядит как 2N + 10. Четвертая операция предлагает нам упростить пример, разделив все его части на 2: N + 5. И, наконец, мы вычитаем загаданное число (то есть N): N + 5 – N = 5. Давайте соберем весь фокус в одну таблицу:
Правила алгебры
Начнем с загадки. Найдите число, которое становится в три раза больше, если к нему прибавить 5. Чтобы ее решить, заменим неизвестное нам число буквой х. Добавление пятерки дает нам х + 5, утроение — 3х. Мы хотим, чтобы эти две записи были равными, поэтому нам придется решать уравнение
3x = x + 5
Уберем по одному х из обеих его частей и получим
2x = 5
(смотрите, откуда берется 2x: 3x – x — то же, что и 3x – 1x, то есть 2x).
Разделим обе части уравнения на 2:
x = 5/2 = 2,5
Можем проверить правильность ответа: 2,5 + 5 = 7,5. Тот же ответ получаем, умножая 2,5 на 3.
Отступление
А вот еще один фокус, в сути которого можно легко разобраться с помощью алгебры. Запишите любое трехзначное число, цифры в котором идут по убывающей (например, 842 или 951). Затем запишите эти числа в обратном порядке и вычтите второе число из первого. Какой бы ответ у вас ни получился, запишите в обратном порядке и его, а затем сложите эти два числа.
Вот пример с числом 853:
Попробуйте другое число. Что вышло? А то, что, если четко и правильно выполнять все инструкции, вы всегда будете получать 1089! Как так?
Итак, начинаем мы с трехзначного числа abc, в котором a > b > c. Точно так же, как и 853 = (8 . 100) + (5 . 10) + 3, число abc равняется 100a + 10b + c. Записав его справа налево, получим число cba, равное 100c + 10b + a. Вычитание дает нам
Другими словами, нам надо умножить полученную разность на 99. А раз в изначальном нашем числе цифры идут по убыванию, a – c даст нам как минимум 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Следовательно, выполнив вычитание, мы гарантированно получим
198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 или 891.
И каждое из этих чисел, если мы прибавим его к его «зеркальному» двойнику, даст
198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1089
— пару, неизбежно дающую в сумме 1089.
Читайте также:
Математика — праздник для всех
Этот пример отлично иллюстрирует то, что я называю золотым правилом алгебры: совершайте с одной частью уравнения те же действия, что и с другой его частью.
Например, нам нужно найти x в уравнении:
3(2x + 10) = 90
Наша основная задача — изолировать х, и первый шаг на пути к этому — разделить обе части на 3, чтобы упростить решение:
2x + 10 = 30
Второй шаг — избавиться от 10, которую надо вычесть и слева и справа, то есть:
2x = 20
Наконец делим все на 2, упрощая тем самым левую часть, в итоге получая
x = 10.
Ну и проверим ответ, конечно — это никогда не помешает: При x = 10 3(2x + 10) = 3(30) = 90, что верно.
Интересно, есть ли у этого уравнения другое решение? Ответ — нет, потому что любое значение х должно удовлетворять не только этому, но и любому последующему уравнению, так что x = 10 — единственный верный ответ.
А вот алгебраическая задачка из реальной жизни: в 2014 г. газета New York Times рассказала читателям, что фильм «Интервью» (The Interview) компании «Сони Пикчерз» в первые четыре дня после релиза собрал в Интернете $15 млн. Но компания не уточнила, сколько из этой суммы принесли покупки фильма в Сети ($15), а сколько — платные просмотры ($6); зато мы знаем, что всего было совершено около 2 млн транзакций.
Чтобы эту задачку решить, обозначим количество онлайн-продаж буквой S, количество платных просмотров — буквой R. Составим уравнение
S + R = 2 000 000.
А так как каждая транзакция по продаже — это $15 прибыли, а по просмотру — $6, уравнение преобразуется:
15S + 6R = 15 000 000
Возможность привести первое уравнение к виду R = 2 000 000 – S позволяет нам преобразовать и второе уравнение:
15S + 6(2 000 000 – S) = 15 000 000.
или 15S + 12 000 000 – 6S = 15 000 000, в котором у нас из неизвестных остается только S. Продолжаем упрощать:
9S + 12 000 000 = 15 000 000.
Вычтем из обеих частей 12 000 000:
9S = 3 000 000.
Значит, S примерно равняется трети миллиона: S ≈ 333 333, а R = 2 000 000 – S ≈ 1 666 667 (проверим: общий доход составил $15 × 333 333 + $6 × 1 666 667 ≈ $15 000 000).
Теперь самое время обсудить правило, которым мы в этой книге уже использовали и продолжим использовать, хотя до этого напрямую о нем не говорили. Называется оно «закон дистрибутивности» и работает тогда, когда у вас в одной задаче или одном уравнении есть одновременно сложение и умножение.
Это правило следует использовать при умножении однозначного числа на двузначное, например,
7 × 28 = 7 × (20 + 8) = (7 × 20) + (7 × 8) = 140 + 56 = 196.
Очень полезная штука, когда дело доходит до счета. Допустим, у нас есть 7 кошельков с монетами: по 20 золотых и 8 серебряных монет в каждом. Сколько у нас всего монет? С одной стороны, можно подойти к проблеме так: в каждом кошельке по 28 монет, значит, всего их 7 × 28.
С другой стороны, можно посчитать отдельно монеты разного достоинства: 7 × 20 золотых и 7 × 8 серебряных, значит, всего: (7 × 20) + (7 × 8). Следовательно, 7 × 28 = (7 × 20) + (7 × 8).
Закон дистрибутивности можно выразить и геометрически, начертив прямоугольник и разбив его на два части, как на рисунке.
Как видим, площадь прямоугольника равна a(b + c). Однако левая часть выглядит как ab, правая — как ac, поэтому в итоге у нас получается ab + ac. Отличная иллюстрация к закону дистрибутивности при условии, что a, b и c — положительные величины.
Иногда, кстати, его можно применить одновременно и к числам, и переменным, например,
3(2x + 7) = 6x + 21
«Читать» это уравнение можно двумя способами: слева направо и справа налево. В первом случае мы видим 3, умноженное на 2x + 7. Во втором мы разлагаем 6x + 21 на сомножители, ≪вытягивая≫ тройку из 6x и 21.
Отступление
Почему «минус» на «минус» при умножении дают «плюс»? Иными словами, с чего бы вдруг (–5) . (–7) = 35? У учителей всегда наготове с десяток самых разных объяснений, начиная с аннулирования долгов и заканчивая железобетонным «ну, потому что вот так». Но настоящая причина — в том, что закон дистрибутивности работает по отношению ко всем числам, не только положительным. А раз уж мы применяем его и к отрицательным числам (и к нолю, кстати), будьте готовы столкнуться с последствиями. Давайте посмотрим, почему.
Ещё по этой теме:
Библиотека интерактивных симуляторов по физике, математике и химии
Допустим, мы примем тот факт, что –5 . 0 = 0, а –5 . 7 = –35. (Для этих примеров тоже имеются свои доказательства, очень близкие к тому, что мы выстраиваем сейчас, но большинство с радостью просто принимают эти утверждения на веру.) Взгляните-ка вот на что:
–5 . (–7 + 7)
Чему это равно? С одной стороны, это все то же –5 . 0, равное, как нам хорошо известно, нолю. С другой стороны, использовав закон дистрибутивности, мы получим ((–5) . (–7)) + (–5 . 7). Следовательно,
((–5)) . ((–7)) + (–5 . 7) = ((–5) . (–7)) – 35 = 0
А если ((–5) . (–7)) – 35 = 0, мы вынуждены признать, что (–5) . (–7) = 35.
Обобщая, можно сказать, что закон дистрибутивности утверждает, что для всех значений a и b будет верно следующее: (–a) . (–b) = ab.
По материалам:
- Магия математики: Как найти икс и зачем это нужно
Альпина Паблишер
