Better Explained: Как развить математическую интуицию

Переводим ещё одну статью из цикла статей Better Explained, которые превращают знакомство с математикой в простое и увлекательное занятие. Сегодня поговорим о том, как сформировать математическую интуицию и увидеть простое за сложным. 

Время чтения: 11 минут
Better Explained: Как развить математическую интуицию

Наше первое представление о каком-либо явлении формируется благодаря нашей интуиции. И именно от степени нашего интуитивного восприятия и понимания зависит та степень удовольствия, которую мы получим от изучения той или иной концепции.

Разберём пример. Допустим, нам нужно дать определение понятию «кот».

Определение пещерного человека: Кот — это пушистое животное с когтями, зубами, хвостом, четырьмя лапами, которое мурлыкает в хорошем настроении и шипит в плохом…

Определение теории эволюции: Кот — это млекопитающее семейства кошачьих с определённым набором характеристик…

Современное определение: Ха, и вы называете это определениями? Кот — это животное со следующим набором ДНК: ACATACATACAT…

Современное определение, конечно, абсолютно точно. Но лучшее ли это определение? Использовали ли бы вы его при разговоре с ребёнком? Даёт ли оно полное представление о «кошачести»? Нет. Современное определение полезно, только если вы уже знаете, кто такой кот. Это определение не может стать отправной точкой для человека, который никогда не видел кота.

К сожалению, математическое мышление близко именно к третьему ДНК-определению. Нас обучают современным точным определениям, а не тем идеям, которые к этим формулировкам привели. Нас оставляют наедине с длинными формулами (тем самым набором ДНК), не давая ни малейшего представления о самом явлении.

Скриншот из мультсериала Adventure Time, где знание математики спасает принцессу

Давайте попробуем посмотреть на идеи под другим углом. Представим круг, в центре которого — изучаемая идея, а вокруг него — факты, её описывающие. Мы начинаем поиск с одного какого-то факта, а затем бродим вокруг него в поисках дополнительных, которые бы привели нас к пониманию идеи. Например, утверждение «У котов есть общие физические черты» приведёт нас к утверждению «У котов есть общий предок», которое приводит нас к «Разные виды могут быть идентифицированы определёнными наборами ДНК». Вот оно! Именно так из пещерного представления о коте получилось современное.

Но не все точки поиска идеи одинаковы. Удачный взгляд под правильным углом — и наш «пещерный математик» доказывает новую теорему. Это и есть интуиция. Давайте посмотрим, как она работает.

Что такое круг?

Пришло время для какого-нибудь математического понятия: давайте попробуем дать определение кругу.

Кажется, что определений круга несметное множество. Вот лишь несколько из них.

  • Самая симметричная двумерная фигура;
  • Фигура с наименьшим периметром и наибольшей площадью;
  • Все точки на плоскости, равноудалённые от определённой точки (нарисованные с помощью циркуля или карандаша на верёвке);
  • Точки (x;y) в уравнении x2 + y2 = r2 (аналитическая версия геометрического определения);
  • Точки в уравнении r * cos(t), r * sin(t) для всех t (по-настоящему аналитическая версия);
  • Фигура, касательная к каждой точке которой всегда перпендикулярна радиус-вектору (физическая интерпретация).

Список можно продолжать, но суть в следующем: все эти утверждения описывают одно и то же явление! С тем же успехом можно сказать, что единица — это решение уравнения 2х+3=5 или количество носов на вашем лице. Любое определение, выражающее идею единицы, подойдёт.

Тем не менее, эти начальные описания крайне важны — именно они формируют нашу интуицию. Поскольку мы видим круги в реальном мире, мы понимаем идею их «круглости». Неважно, насколько прекрасным нам кажется уравнение x2 + y2 = r2, глубоко внутри мы уже знаем, что круг — «круглый». Если бы мы изобразили это уравнение в графике, и круг бы оказался квадратным, мы бы знали, что где-то ошиблись.

Мы с детства знакомы с пещерным определением круга (чего-то очень круглого), и оно даёт нам удобное интуитивное понимание. Мы можем увидеть, что каждая точка этого «чего-то круглого» находится на одинаковом расстоянии от его центра. x2 + y2 = r2 — аналитический способ выразить эту же идею с использованием теоремы Пифагора. Мы начали поиски с одного угла с помощью нашей интуиции, а затем шаг за шагом приблизились к формальному определению.

Некоторым другим понятиям не так везёт, как кругу. Можем ли мы инстинктивно понять число е, или это абстрактное явление? Осознаём ли мы комплексные числа, либо это бесполезная искусственная идея?

Стратегия развития понимания

Мне всё ещё приходится напоминать себе о глубинном значении числа Эйлера (е) или комплексных чисел — это кажется таким же нелепым, как постоянное напоминание о том, что такое круг или как выглядит кот. Поэтому процесс познания должен начинаться с естественного понимания.

Неполная картинка без картинки. Источник: Википедия.

Мозг заставляет скрипеть отсутствие полной картины: математика — это наука о явлениях; формулы — лишь способ выразить их. Как только становится понятной основная концепция, уравнения встают на своё место. Вот стратегия, которая в своё время помогла мне:

Шаг 1. Найти основную мысль математической концепции. Это может оказаться сложным, поэтому стоит начать с её истории. Когда впервые появилась эта концепция? Как с ней работал её первооткрыватель? Его действия могут отличаться от нашей современной интерпретации и способа применения.

Шаг 2. Объясните явление/факт с помощью этой идеи. Проведите аналогию с формальным определением. Если вам повезёт, вы сможете перевести математическое уравнение x2 + y2 = r2 к простому утверждению «Все точки равноудалены от центра».

Шаг 3. Исследуйте смежные свойства с помощью этой же идеи. Как только вы придёте к работающей аналогии или интерпретации, посмотрите, применяются ли они к другим свойствам. Иногда они будут применяться, иногда нет (и вам понадобится новое откровение), но в любом случае ваши открытия вас удивят.

Давайте попробуем.

Настоящий пример: идём к пониманию числа е

Путь к пониманию числа Эйлера — настоящая кровопролитная битва. Число Эйлера имеет множество определений, но ни одно из них не является интуитивно понятным. Давайте выстроим вокруг этой идеи несколько сущностей. В следующем разделе мы встретимся с некоторыми уравнениями, которые являются всего лишь способами описать явления нашей жизни. Даже если уравнение выглядит чертовски сложным, за ним всегда стоит простое словесное объяснение.

Вот несколько популярных объяснений числа Эйлера:

Первый шаг — найти тему. Если посмотреть на историю числа Эйлера, окажется, что его вычисление связано с решением задачи о предельной величине процентного дохода. Число Эйлера было открыто при совершении деловых расчётов, а не в ходе операций с абстрактными понятиями. Так что давайте определим «процентный рост» как возможную тему для понимания числа Эйлера.

Давайте посмотрим на первое определение в верхнем левом углу. Здесь главное — обнаружить, как сильно эта формула похожа на формулу вычисления сложного процента. На самом деле это и есть формула вычисления процента, когда вы бесконечно увеличиваете частоту начисления процента. Подробнее об этой интерпретации автор ресурса Better Explained написал отдельный пост, обещаем перевести и его. 

Определение 1: Определяем число Эйлера как максимально возможную годовую прибыль при 100%-ных годовых и максимально частой капитализации процентов.

Перейдём ко второму определению: бесконечный ряд уменьшающихся чисел. Что это может быть?

После того как мы узнали о процентном росте, мы видим, что это определение демонстрирует не что иное, как компоненты капитализированного процента. В этом случае к пониманию нас приведёт небольшой мозговой штурм, отвечающий на вопрос: «Что же означают » 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + … применительно к процентному росту?».

Что ж, первый член (1 = 1/0!, при условии что 0! и есть 1) является исходным количеством. Следующий член 1 = 1/1! является напрямую полученным процентом — 100% от 1. Следующий (0.5 = 1/2!) является количеством денег, полученных с помощью начисленных процентов («процент второго уровня»). И ещё следующий (0,1666 = 1/3!) — это процент третьего уровня, то есть то количество денег, которые вы получили с помощью процентов, начисленных на проценты.

Деньги, зарабатываемые на деньгах, зарабатываемых на деньгах, зарабатываемых на деньгах, и так до бесконечности — эта последовательность и описывается формулой выше.

Определение 2: Определяем число Эйлера как вклад каждого процентного элемента

Круто.

Теперь перейдём к третьему, самому короткому определению. Что оно значит? Вместо того, чтобы думать о производной (которая придаёт вашему мышлению формульный настрой), подумайте о его значении. Почувствуйте уравнение. Подружитесь с ним.

Внимание, с вами говорит алгебра. Она говорит: «Скорость процентного роста равна текущей сумме». Что ж, всё правильно: начисление процентов в размере текущей суммы составит 100%. А постоянный рост будет означать постоянное начисление процентов — это же просто ещё один способ описать постоянно капитализируемый процент!

Определение 3: Определяем число Эйлера как функцию, которая всегда возрастает на 100% от текущего значения.

Прекрасно. Мы выяснили, что число Эйлера — это число, обозначающее постоянный рост в размере текущей суммы (100%), не 1% и не 200%.

Переходим к последнему, самому запутанному определению. Вот моя интерпретация: вместо того, чтобы описывать, сколько процентов вы получите, почему бы не описать, сколько времени это занимает?

У вас есть 1 единица денег, и вы приумножаете её на 100%; переход от 1 единицы денег к 2 единицам денег займёт 1 единицу времени. Как только вы оказываетесь с двойкой и приумножаете её ещё на 100%, это означает, что за 1 единицу времени вы производите уже 2 единицы денег! Поэтому на переход от 2 единиц к 3 единицам денег занимает ½ единицы времени. Переход от 3 единиц к 4 единицам денег займёт 1/3 единицы времени, и так далее.

Время, необходимое для роста от 1 до А — это время, потраченное на переход от 1 к 2, от 2 к 3, от 3 к 4 и так далее, пока вы не доберётесь до значения А. Первое определение описывает натуральный логарифм (ln) для этого вычисления времени роста.

ln(a) — это просто время, необходимое для роста от 1 до а. Сейчас мы можем сказать, что e — это число, выражающее точно 1 единицу времени для перехода. Другими словами, число Эйлера — это показатель роста, произведённого за 1 единицу времени.

Определение 4: Определяем время, необходимое для непрерывного роста от 1 до а как ln(a). Число Эйлера будет являться значением роста, которое вы получаете за 1 единицу времени.

Поздравляем, вы только что осознали число е! Источник картинки: greatwinenews.com

Бамболейо! Мы рассмотрели четыре различных способа описания загадочного числа Эйлера. Как только мы получили центральную идею («е — это число, связанное с непрерывным ростом на 100%»), все уравнения и формулы тут же встают на свои места и становится возможным перевести язык алгебры на человеческий язык. Математика рассказывает нам об окружающих нас явлениях!

А в чём мораль?

На уроках математики мы часто начинаем изучение концепций именно с последних, наиболее сложных понятий. Неудивительно, что математика кажется сложной: мы показываем ученикам формулу ДНК и надеемся, что за ней они увидят пушистого кота.

Описанный мной подход научил меня нескольким важным вещам о том, как легко можно понять и объяснить математические идеи:  

Искать догадки и применять их. Первая интуитивная догадка может помочь расставить всё по своим местам. Начните с определения, которое вам более-менее понятно и покружитесь вокруг него, чтобы найти другие.

Развивайте умственную стойкость. Биться головой об стену, пытаясь осмыслить непонятную идею — это невесело. Если не срабатывает что-то одно, подойдите к проблеме с другой стороны. Всегда есть другие книги, другие статьи, другие объяснения, которые могут оказаться вам ближе.

Любить картинки — это нормально. Мы часто воспринимаем математику как строгую аналитическую науку; но наглядные материалы — это вовсе не дурной тон. Используйте всё, что поможет вам докопаться до смысла. Комплексные числа некогда были настоящей загадкой, пока не появилась их геометрическая интерпретация десятилетия спустя их открытия. Если вы просто целый день будете смотреть на уравнения, это вряд ли приблизит вас к истине.

Финн из мультсериала Adventure Time радуется алгебре. Источник: gifrific.com

Математика становится сложна и не приносит удовольствия, если мы начинаем концентрироваться на определениях и уравнениях, а не на понимании. Помните, что современные определения — это самый сложный для восприятия шаг, который не должен являться отправной точкой. Не бойтесь изъясняться простым языком, сформулируйте идею, лежащую за уравнением, своими словами. Удачи!

Читайте предыдущую статью-перевод из серии Better Explained: Открытие числа «Пи»

По материалам Better Explained

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.
23 января 2015, 13:00

Оставайтесь в курсе


У вас есть интересная новость или материал из сферы образования или популярной науки?
Расскажите нам!
Присылайте материалы на hello@newtonew.com
--