Better Explained: удивительные применения теоремы Пифагора

Мы привыкли думать, что теорема Пифагора — это что-то про геометрию и треугольники. На самом деле область её применения гораздо шире, и автор ресурса Better Explained готов это доступно объяснить.

Время чтения: 10 минут
Better Explained: удивительные применения теоремы Пифагора

Теорема Пифагора — настоящая знаменитость в мире математики: уж если её формула засветилась в сериале «Симпсоны», она точно известна всем.

Большинство считает, что формула теоремы Пифагора применима только в геометрии и только к треугольникам. Скорее всего, при упоминании этой теоремы вы вспоминаете что-то такое:

Источник: Википедия

А теперь вдумайтесь: теорема Пифагора работает для любых фигур и для всех квадратных уравнений.

Если вы продолжите читать статью, вы узнаете, как эта теорема возрастом в 2,5 тысячи лет может помочь нам разобраться в информационных технологиях, физике и даже в полной мере оценить силу социальных сетей.

Идём к пониманию площади

Всегда увлекательно посмотреть на привычное под новым углом. К примеру, до написания этой статьи я никогда не задумывался о глубинном понятии такого явления, как «площадь фигуры». Да, мы можем помнить формулы, но вот понимаем ли мы саму природу площади?

Удивительно, но площадь любой фигуры может быть вычислена путём возведения в квадрат любого линейного сегмента. Линейный сегмент — это отрезок прямой, который мы выбираем в геометрической фигуре. Например, в качестве линейного сегмента квадрата мы выбрали сторону. Тогда площадью квадрата является квадрат его стороны (сторона = 5, площадь = 25). В качестве линейного сегмента круга можно взять радиус, и тогда площадью круга будет являться число π, умноженное на квадрат его радиуса (радиус = 5, площадь = 25π). Куда проще?

Мы можем взять любой линейный сегмент и с его помощью вычислить площадь: каждый линейный сегмент, возведённый в квадрат, даст нам величину площади фигуры, если его помножить на определённый коэффициент. Так мы получаем универсальную формулу расчёта площади фигуры:

Площадь фигуры = Коэффициент * (линейный сегмент)²

Посмотрите на диагональ d квадрата. Сторона квадрата при этом будет вычисляться как d, поделённая на √2. В этом случае площадь квадрата будет вычисляться как 1/2 d². Если мы хотим использовать диагональ фигуры в качестве линейного сегмента, нашим коэффициентом будет являться число 1/2.

А теперь в качестве линейного сегмента используем периметр p. Сторона квадрата — это p/4, значит, его площадь вычисляется по формуле p²/16. В этом случае коэффициентом для p² будет являться 1/16.

А можно взять вообще любой линейный сегмент?

А как же! Между «традиционным» сегментом (ну, например, стороной квадрата) и любым другим по вашему вкусу (скажем, периметром) всегда существует взаимосвязь (несложно догадаться, что периметр будет равен четырём сторонам квадрата). Если мы можем конвертировать новый сегмент в традиционный, площадь вычисляется легко — изменится лишь коэффициент в уравнении.

А можно взять вообще любую геометрическую фигуру?

Почти. Универсальная формула работает для всех подобных фигур — тех, что являются увеличенными или уменьшенными версиями одной и той же фигуры. Ну, например:

Все квадраты похожи друг на друга (площадь квадрата — всегда квадрат одной его стороны). Все круги похожи друг на друга (площадь круга — всегда π*r²). Треугольники не похожи друг на друга: они бывают вытянутыми или плоскими, «толстенькими» и «тоненькими», и у каждого треугольника — свой коэффициент для вычисления площади в зависимости от того, какой линейный сегмент вы выбрали. Измените форму треугольника, изменится и уравнение.

В целом все треугольники подчиняются правилу «площадь = 1/2 основания * высоту». Но отношения между основанием и высотой зависят от вида треугольника, поэтому и коэффициент в универсальной формуле будет всегда разным.

Почему для сохранения универсальности уравнения необходимы подобные фигуры? Интуитивно понятно, что при масштабировании фигуры вы меняете её размер, но сохраняете пропорции. Периметр квадрата всегда будет вычисляться умножением размера его стороны на 4.

Поскольку коэффициент в формуле площади основывается на отношениях между элементами фигуры, формула будет работать для всех фигур с одинаковыми пропорциями (подобными фигурами). Это как сказать, что полный размах рук человека приблизительно соответствует его росту — вне зависимости от того, кто перед нами, ребёнок или баскетболист.

Источник: Википедия

Так вот, основная концепция расчёта площади фигуры может быть выражена в следующих трёх постулатах:

  • Площадь фигуры вычисляется с помощью возведения в квадрат любого её линейного сегмента.
  • У каждого линейного сегмента будет свой коэффициент в универсальной формуле.
  • Одна и та же формула расчёта площади работает для всех подобных фигур.

Интуитивное понимание теоремы Пифагора

Никто не спорит с тем, что теорема Пифагора работает. Но почти все её доказательства основаны на механических действиях: переставляем местами фигуры, и вуаля! — уравнение всё равно работает. Давайте подумаем: вам правда интуитивно понятно, что уравнение должно выглядеть как a² + b² = c²? А почему не 2a² + b² = c²? Давайте попробуем найти в этом смысл.

Для начала нам понадобится осознать и принять удивительный факт: любой прямоугольный треугольник можно разбить на два подобных прямоугольных треугольника.

Круто, да? Всего один опущенный перпендикуляр, и один треугольник превращается в две свои маленькие копии.

Собственно, этот пример говорит нам об очень простой вещи:

Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)

Маленькие треугольники были получены из большого, поэтому мы просто складываем их площади. И да, самое главное: поскольку треугольники подобны, для них действует одна и та же формула вычисления площади.

Давайте назовём длинную сторону (с длиной 5) — с, среднюю сторону (с длиной 4) — b, и короткую сторону (с длиной 3) — a. Формула площади для этих треугольников выглядит так:

Площадь = F*гипотенуза²,

где F — это множитель (в этом случае — 6/25 или 0,24). С формулой можно поиграть:

Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)

Fc² = Fb² + Fa²

Просто уберите F, и вы получите:

c² = b² + a²

Ой, так это же наша любимая теорема! Мы знали, что она нас не подведёт, но теперь мы понимаем, почему:

  • Треугольник можно разбить на два маленьких подобных треугольника
  • Поскольку площади малых треугольников складываются, квадраты гипотенуз также складываются.

Конечно, теорема Пифагора работает только в Евклидовой геометрии и не может применяться, например, к сферам. Но об этом нужно поговорить в другой раз.

Применение теоремы: Возьмём любую фигуру

Ранее мы использовали простую плоскую фигуру — треугольник. Но ведь линейный сегмент можно извлекать из абсолютно любой фигуры. Возьмём, к примеру, круг. На изображении мы видим три разных круга с радиусами, равными сторонам нашего пифагоровского треугольника.

Можно ли с большим кругом поступить так же, как мы поступили с большим треугольником — сложить площади меньших кругов? При этом мы будем помнить, что площадь каждого маленького круга мы можем высчитать, используя квадрат известного нам линейного сегмента, умноженный на конкретный коэффициент — в данном случае это будет число Пи.

Да-да, всё верно: Площадь круга радиусом 5 = Площадь круга радиусом 4 + Площадь круга радиусом 3.

Мы запросто подставляем в формулу нужный коэффициент, и она всё ещё работает.

Помните, что в качестве линейного сегмента может выступать любой элемент плоской фигуры. Вы могли выбрать радиус, диаметр или длину окружности — изменился бы только коэффициент, но отношения 3-4-5 остались бы неизменными.

Теорема Пифагора позволяет находить соотношение площадей любых подобных фигур. Это то, чему нас не учат в школе.

Применение теоремы: сохранение квадратов

Теорема Пифагора применяется к любому квадратному уравнению. Подобно тому, как вы разбиваете треугольники, вы можете разбить квадрат любого количества чего угодно (c²) на более малые его доли (a²+b²). Этим «чем угодно» может быть расстояние, энергия, человекочасы, время или количество пользователей в социальной сети.

Социальные сети.

Есть такой закон — закон Меткалфа, формулирующий уровень полезности социальной сети: он говорит, что ценность социальной сети растёт в квадратичной зависимости от количества пользователей в ней. Например:

Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн. пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей

Кажется удивительным, что полезность социальной сети в 50 миллионов человек выражается через полезность двух соцсетей, в сумме имеющих 70 миллионов человек, но это на самом деле так. Социальная сеть растёт нелинейно.

Информационные технологии.

Некоторым программам требуется n² времени для обработки n запросов. Другими словами:

50 запросов = 40 запросов + 30 запросов

Удивительно, но 70 элементов данных, разбитые на две группы, будут обработаны так же быстро, как одна группа из 50 элементов. Именно поэтому имеет смысл сортировать элементы по группам и подгруппам. Эта особенность используется почти во всех алгоритмах сортировки. Теорема Пифагора помогает понять, почему сортировка 50 элементов сразу менее эффективна, чем сортировка этого же количества элементов по отдельности.

Площадь поверхности.

Площадь поверхности сферы определяется как 4πr². Что это значит?

Площадь радиусом 50 = Площадь радиусом 40 + Площадь радиусом 30

В жизни нам встречается не так уж и много сфер, но вот портовым работникам это знание весьма полезно (в конце концов, корпус любого судна — это деформированная сфера). Количеством краски, необходимой для 50-тифутовой яхты, можно окрасить две яхты длиной 40 и 30 футов.

Физика.

Если вспомнить школьные уроки физики, можно привести в пример формулу расчёта кинетической энергии объекта массой m при скорости v: 1/2mv². Применяем теорему Пифагора.

Энергия при скорости в 500 км/ч = Энергия при скорости в 400 км/ч + Энергия при скорости в 300 км/ч

Значит, одного и того же количества энергии хватает либо на запуск одного предмета на скорости 500 км/ч, либо на запуск двух других на меньшей скорости.

Попробуйте сами

В теорему Пифагора можно подставлять абсолютно любые цифры. Она может помочь нам и в повседневной жизни. Например, мы никак не можем выбрать: заказать большую пиццу диаметром 50 см или две диаметром 30 см? Мы с теоремой уже знакомы хорошо и нас не обмануть: площадь одной пиццы в 50 см будет действительно больше, чем площадь двух пицц по 30 см в диаметре (можете проверить, мы не обманываем). Всегда можно подставить другие цифры, а для ленивых есть простой и удобный калькулятор.

Наслаждайтесь

Со школьной скамьи мы уверены, что теорема Пифагора — это что-то о треугольниках и геометрии. Мы с вами вместе убедились, что это не так.

Помните, что стороны прямоугольного треугольника могут превратиться в линейный сегмент любой фигуры, и стать переменными в любом квадратном уравнении. И это ошеломительно.

Спасибо великолепной статье на BetterExplained.

Читайте другие статьи из цикла переводов Better Explained: Как развить математическую интуицию? и Открытие числа Пи.
Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.
26 февраля 2015, 15:00

Оставайтесь в курсе


У вас есть интересная новость или материал из сферы образования или популярной науки?
Расскажите нам!
Присылайте материалы на hello@newtonew.com
--