вернуться
Информатика

Вопрос 16

Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 9 – записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение №1

В задаче имеется "топорное решение" — посчитать напрямую. Получившееся число будет восьмизначным, что не так уж и страшно, если в голову не приходят другие решения.

Рассмотрим, однако, решение, которое позволит делать подобные задачи без прямого подсчёта. Для этого, прежде всего, переведём всё в степени тройки:

\(\begin{eqnarray} 9^8&+3^5&-9 &= \\ 3^{2^8}&+3^5&-3^2 &= \\ 3^{16}&+3^5&-3^2 \end{eqnarray}\)

Как представляется число 3n в троичной системе счисления? Давайте подумаем, как мы переводим из десятичной системы в троичную? Сначала делим на 3, затем частное делим на 3, затем новое частное на 3 и т.п. Что получится в случае деления 3n на 3? Очевидно, что 3n-1. А если его поделить дальше на 3, то получится 3n-2. Если так сделать n раз, то в конце останется 30, то есть. Таким образом, это будет число 100..00, где количество нулей равно n.

То есть, например, 8-ая степени тройки в троичной системе представима в виде 1000000003. А 35 — это 1000003.

Вернёмся теперь к нашей сумме. Давайте сначала в столбик сложим 316 и 35 в троичной системе счисления.

\(\begin{eqnarray} 1\overbrace{00\dots 0000000}^{16}\\ 100000 \\ \hline 1\underbrace{00\dots 0}_{10}100000 \end{eqnarray}\)

Теперь остаётся из этого вычесть 32. Для этого придётся "занять" разряд. Но принцип тут такой же, как и в обычной, десятичной системе счисления, только 0 будут превращаться не в 9, а в 2 (самую большую цифру в троичной системе счисления:

\(\begin{eqnarray} 1\overbrace{00\dots 0}^{10}100000\\ -100 \\ \hline 1\underbrace{00\dots 0}_{10}022200\\ \end{eqnarray}\)

Таким образом, количество двоек в указанной сумме получилось равным 3.

Ответ: 3 двойки в троичной записи.

Evgeny Smirnov