вернуться
Математика

Вопрос 14

Все ребра правильной треугольной призмы  ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и  N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

А) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

Б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

 

Решение №1

 

Пусть точка H – середина АС. Тогда

\(BN^2=BH^2 + NH^2 = (3\sqrt{3})^2+6^2=63\)

А  так  же \(BN^2=BH^2 + NH^2 = (3^2+6^2)+(3^2+3^2) =63\)

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN прямоугольный с прямым углом M.

Проведем перпендикуляр NP к прямой A1B1. Тогда NP⊥A1B1 И  NP⊥A1A . Следовательно, NP⊥ABB1. Поэтому MP- проекция MN на плоскость ABB1. 

Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трех перпендикулярах BM⊥MP. Следовательно, угол NMP – линейный угол искомого угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть \(NP = \frac{3\sqrt{3} }{2}\)

Поэтому \(sin ∠NMP = \frac{NP}{MN} = \frac{(3\sqrt{3})}{2х3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}\)

Ответ: \(sin ∠NMP = \frac{NP}{MN} = \frac{(3\sqrt{3})}{2х3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}\)

 

Павел Подвинцев
преподаватель, эксперт

Академия
Решение задачи предоставлено компанией: Федеральный центр онлайн-обучения «Академия»
Интерактивная онлайн-платформа подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Сервис включает в себя личный кабинет, онлайн-уроки в режиме реального времени, записи трансляций, более 2000 упражнений и данные о прогрессе. Программы одобрены Российской академией наук.