Вопрос 14
Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
А) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
Б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Решение №1
Пусть точка H – середина АС. Тогда
\(BN^2=BH^2 + NH^2 = (3\sqrt{3})^2+6^2=63\)
А так же \(BN^2=BH^2 + NH^2 = (3^2+6^2)+(3^2+3^2) =63\)
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN прямоугольный с прямым углом M.
Проведем перпендикуляр NP к прямой A1B1. Тогда NP⊥A1B1 И NP⊥A1A . Следовательно, NP⊥ABB1. Поэтому MP- проекция MN на плоскость ABB1.
Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трех перпендикулярах BM⊥MP. Следовательно, угол NMP – линейный угол искомого угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть \(NP = \frac{3\sqrt{3} }{2}\)
Поэтому \(sin ∠NMP = \frac{NP}{MN} = \frac{(3\sqrt{3})}{2х3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}\)
Ответ: \(sin ∠NMP = \frac{NP}{MN} = \frac{(3\sqrt{3})}{2х3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}\)
