На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Среднее арифметическое n чисел – это частное от деления на n суммы всех этих чисел.
Пусть на доске записано m целых чисел, причем 42< m < 56. Пусть записано:
Х - количество положительных чисел;
Y - количество отрицательных чисел; тогда:
К - количество нулей,
Х+Y+K - количество всех чисел;
4*(X+Y+K) - сумма всех чисел;
14Х - сумма положительных чисел;
-7Y - сумма отрицательных чисел;
0*K - сумма нулей.
Можно записать уравнение:
14х - 7у + 0к= 4*(x + y + к);
14х - 7у = 4*(x + y + к); левая часть уравнения делится на 7, тогда:
42 < (х +у + к) < 56, значит всего 49 чисел , m = 49.
х + у +к = 49;
4•(х + у + к) = 4•49;
тогда 14х – 7у = 4•49; поделим обе части уравнения на 7, получаем:
\(\begin{eqnarray} 2x - y = 28\\ y = 2x - 28\\ \end{eqnarray}\)
х + у ≤ 49
3х ≤ 77, значит х ≤ 25
2х – у = 28
у = 28 – 2х
2•25 – у = 28
у = 22
Ответ: а) 49;
б) положительных чисел больше;
в) 22.