Вопрос 11
На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Решение №1
Среднее арифметическое n чисел – это частное от деления на n суммы всех этих чисел.
Пусть на доске записано m целых чисел, причем 42< m < 56. Пусть записано:
Х - количество положительных чисел;
Y - количество отрицательных чисел; тогда:
К - количество нулей,
Х+Y+K - количество всех чисел;
4*(X+Y+K) - сумма всех чисел;
14Х - сумма положительных чисел;
-7Y - сумма отрицательных чисел;
0*K - сумма нулей.
Можно записать уравнение:
14х - 7у + 0к= 4*(x + y + к);
14х - 7у = 4*(x + y + к); левая часть уравнения делится на 7, тогда:
42 < (х +у + к) < 56, значит всего 49 чисел , m = 49.
х + у +к = 49;
4•(х + у + к) = 4•49;
тогда 14х – 7у = 4•49; поделим обе части уравнения на 7, получаем:
\(\begin{eqnarray} 2x - y = 28\\ y = 2x - 28\\ \end{eqnarray}\)
х + у ≤ 49
3х ≤ 77, значит х ≤ 25
2х – у = 28
у = 28 – 2х
2•25 – у = 28
у = 22
Ответ: а) 49;
б) положительных чисел больше;
в) 22.
