вернуться
Математика

Вопрос 15

Решите неравенство:

\(\log_5^2(25-x^2)-3\log_5(25-x^2)+2\ge0.\)

Решение №1

Начнем с ОДЗ. Выражение, стоящее внутри логарифма, должно быть строго положительным:

\(25-x^2>0\Leftrightarrow x^2<25 \Leftrightarrow x\in (-5;5).\)

Переходим к решению. Для удобства сделаем замену: \(t=\log_5^2(25-x^2).\) Наше неравенство перепишется следующим образом:

\(t^2-3t+2\ge0.\)

Нули квадратного трехчлена, стоящего в левой части - числа 1 и 2. Отметим их на числовой прямой, расставим знаки и найдем решение неравенства:

 

Чтобы сделать обратную замену, запишем отмеченные промежутки в виде неравенств:

\(\left[ \begin{array}{l} t\ge2\\ t\le1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_5(25-x^2)\ge2\\ \log_5(25-x^2)\le1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 25-x^2\ge25\\ 25-x^2\le5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2\le0\\ x^2\ge20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x\ge\sqrt{20}\\ x\le-\sqrt{20} \end{array} \right.\)

Отметим это на числовой прямой и пересечем с ОДЗ:

 

Ответ: \((-5;-\sqrt{20}]\cup\{0\}\cup[\sqrt{20};5).\)

Роман Бушуев

Решение задачи предоставлено компанией: Юниум
Юниум — федеральная сеть образовательных центров для школьников по всей России. Мы проводим занятия по подготовке к ЕГЭ и ГИА. Каждый год наши выпускники поступают в лучшие ВУЗы страны, а их результаты выше, чем в среднем по России.