вернуться
Математика

Вопрос 15

Решите неравенство:

\((5x-13)\cdot\log_{2x-5}(x^2-6x+10)\ge0.\)

Решение №1

Начнем с ОДЗ:

\(\left\{ \begin{array}{l} x^2-6x+10>0\\ 2x-5>0\\ 2x-5\ne1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\in\mathbb{R}\\ x>\displaystyle\frac{5}{2}\\ x\ne3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x\in\left(\displaystyle\frac{5}{2};3\right)\cup(3;+\infty).\)

Перейдем решению. Сведем решение к методу рационализации, т.к. слева стоит произведение функций, а справа - ноль. Воспользуемся следующим приемом: вычтем 0 из логарифма и представим этот 0 как логарифм по основанию \((2x-5).\) Получим следующее:

\((5x-13)\left(\log_{2x-5}(x^2-6x+10)-0\right)\ge0,\\ (5x-13)\left(\log_{2x-5}(x^2-6x+10)-\log_{2x-5}1\right)\ge0.\)

Теперь уберем логарифмы с помощью метода рационализации:

\((5x-13)(2x-5-1)(x^2-6x+10-1)\ge0,\\ (5x-13)(2x-6)(x^2-6x+9)\ge0,\\ 2(5x-13)(x-3)^3\ge0.\)

Отметим нули функции и знаки на числовой прямой и пересечем с ОДЗ:

 

Ответ: \(\left(\displaystyle\frac{5}{2};\frac{13}{5}\right]\cup(3;+\infty).\)

Роман Бушуев