вернуться
Математика

Вопрос 15

Решите неравенство:

\(\displaystyle \frac{4^x-2^{x+4}+30}{2^x-2}+\frac{4^x-7\cdot 2^{x}+3}{2^x-7}\le2^{x+1}-14.\)

Решение №1

Сделаем замену: \(t=2^x, \,t>0.\) Получим неравенство:

\(\displaystyle \frac{t^2-16t+30}{t-2}+\frac{t^2-7t+3}{t-7}\le2t-14.\)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{(t^2-16t+30)(t-7)+(t^2-7t+3)(t-2)-(2t-14)(t-2)(t-7)}{(t-2)(t-7)}\le0;\\ \displaystyle \frac{t^3-16t^2+30t-7t^2+112t-210+t^3-7t^2+3t-2t^2+14t-6-2t^3+28t^2-98t+4t^2-56t+196}{(t-2)(t-7)}\le0;\\ \displaystyle \frac{5t-20}{(t-2)(t-7)}\le0.\\\)

Отметим точки на числовой прямой и выберем нужные промежутки:

 

Запишем найденные промежутки в виде неравенств, чтобы сделать обратную замену:

\(t<2 \Leftrightarrow 2^x<2 \Leftrightarrow x<1;\\ 4\le t < 7 \Leftrightarrow 4\le 2^x < 7 \Leftrightarrow 2\le x <\log_2 7.\)

Ответ: \((-\infty;1)\cup[2;\log_2 7).\)

Роман Бушуев

Решение задачи предоставлено компанией: Юниум
Юниум — федеральная сеть образовательных центров для школьников по всей России. Мы проводим занятия по подготовке к ЕГЭ и ГИА. Каждый год наши выпускники поступают в лучшие ВУЗы страны, а их результаты выше, чем в среднем по России.