вернуться
Математика

Вопрос 17

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \(t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(3t\) единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно \(t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(4t\) единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? 

Решение №1

Нам дано: 5 000 000 рублей - вся сумма, 500 р/ч - ставка рабочего. Отсюда мы можем найти, сколько суммарно времени будут трудиться все рабочие:

\(5\, 000\,000: 500 = 10\,000\,ч.\)

Пусть рабочие на первом заводе трудились \(x^2\) часов, тогда они произвели \(3x\) единиц товара. Пусть рабочие на втором заводе трудились \(y^2\) часов, тогда они произвели \(4y\) единиц товара. Получаем условие:

\(x^2+y^2=10\,000.\)

Обозначим \(S = 3x+4y\) - суммарное количество единиц товара с двух заводов. В задаче требуется найти наибольшее значение этой функции. Будем его находить с помощью производной.

Из условия \(x^2 + y^2 = 10\,000\) выразим переменную \(y = \sqrt{10\,000-x^2}\) и подставим в нашу функцию:

\(S = 3x + 4\sqrt{10\,000 - x^2};\)

\(S' = 3 + 4\cdot\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{10\,000-x^2}}\cdot(-2x)=3-\frac{4x}{\sqrt{10\,000-x^2}};\)

Ищем точку экстремума, приравнивая производную к нулю:

\(3-\displaystyle\frac{4x}{\sqrt{10\,000-x^2}}=0;\)

\(3\sqrt{10\,000-x^2}=4x;\)

\(9\cdot\left(10\,000-x^2\right)=16x^2;\)

\(25x^2=90\,000 \Rightarrow x^2 = 3600 \Rightarrow x = \pm 60.\)

Отрицательное значение можно не рассматривать, т.к. речь идет о часах. Для нахождения нужного нам значения осталось полученное число подставить в функцию \(S:\)

\(S_{max} = S(60) = 3\cdot 60 + 4\sqrt{10\,000 - 60^2} = 180 + 4\cdot 80 = 500.\)

Ответ: 500.

 

Роман Бушуев

Решение задачи предоставлено компанией: Юниум
Юниум — федеральная сеть образовательных центров для школьников по всей России. Мы проводим занятия по подготовке к ЕГЭ и ГИА. Каждый год наши выпускники поступают в лучшие ВУЗы страны, а их результаты выше, чем в среднем по России.