вернуться
Математика

Вопрос 19

Найдутся ли  хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11 , в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

Решение №1

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и четных местах делится на 11.

Запишем все цифры подряд:

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Сумма  цифр стоящих на нечетном месте: 9 + 7 + 5 + 3+  1= 25.

Сумма  цифр стоящих на четном месте:  8 +  6 + 4 + 2 + 0 = 20.

Разность сумм: 25 – 20 = 5, меняя местами, например, 6 и 3 мы одну сумму увеличим на 3, другую уменьшим на 3. Тогда разность между суммами цифр,  стоящих на нечетных и четных местах будет равна 11 и полученное число делится на 11.

9873546210 :11 = 897595110;

Меняем местами,  например 1 и 4 получаем:

9876513240 :11= 897864840;

Меняем 9 и 7 получаем: 7896513240 : 11 = 717864840.


Ответ: найдутся, например: 9873546210;  7896513240; 7896513240.

Падалко Галина Михайловна
Преподаватель математики Центр «Снейл» (Центр «Логос»)
Решение задачи предоставлено компанией: Центр «Снейл»
Центр «Снейл» 15 лет проводит массовые дистанционные образовательные конкурсы и олимпиады для детей. Это предметные и межпредметные интеллектуальные состязания среди школьников, специальные ЕГЭ-олимпиады, помогающие им готовиться к итоговой аттестации.