Создатель ресурса Better Explained Калид Азад предлагает посмотреть на математику не с точки зрения сложных формул, которые сейчас используются для описания той или иной проблемы, а с точки зрения того, как эту проблему решали тогда, когда она впервые возникла. Таким образом мы сможем последовательно воссоздать шаги человечества на пути понимания математической задачи, в данном случае — поиска числа π.
Источник: Better Explained.
Помочь человеку понять сложные концепции — нехитрая и нелёгкая цель сервиса. Помните знаменитое высказывание Эйнштейна: «Если вы не можете объяснить это просто, значит, вы сами не понимаете этого достаточно хорошо»? Нужно выходить за пределы механических описаний, считает Калид Азад, и находить способы объяснения, которые будут вдохновлять и удивлять людей, которые позволят любому человеку воскликнуть «Эврика!». По мнению автора проекта Better Explained, трудно начинать рассказывать о какой-то идее, но легко заканчивать этот рассказ. Умножение, чтение и даже способ завязывать шнурки поначалу кажутся трудными, а после воспринимаются как нечто само собой разумеющееся.
Калид говорит:
Ищите карту, а не инструкцию, куда идти. Запоминание — это не понимание, это заучивание последовательности действий, использование формул без главного вопроса «почему они такие, а не другие?». Советы и инструкции — это легко, но что будет, если следуя им, вы не там повернёте? Новое направление? Этот сайт — о создании карты, о понимании и глубокой интуиции, которые могут привести вас куда угодно. Оставим сухие теории для энциклопедий.
Итак, мы отправляемся вместе с Better Explained в те далёкие времена, когда человечество ещё не знало всех загадок числа π, но уже было заинтриговано тем, что за ним скрывалось.
Источник: Flickr.com.
π — это загадка. Конечно, вы «знаете», что оно примерно равно 3,14159, потому что вы читали об этом в какой-то книге. А если бы у вас не было ни учебников, ни компьютеров, ни даже исчисления (ужас!), а только ваш собственный мозг и листок бумаги. Смогли бы вы найти число π?
Ещё 2 000 лет назад Архимед нашёл число π с точностью 99,9%, когда ещё не были известны десятичные дроби и даже ноль! Более того, он разработал методы, которые легли в основу всего исчисления. «Жаль, что я не узнал об истории открытия числа π в школе, — говорит Калид, — это помогло бы мне понять, что такое исчисление».
Как мы находим π?
Число π — это длина окружности с диаметром 1. Как мы можем получить такое число?
- Можно сказать, что π = 3 и успокоиться на этом.
- Можно твёрдой рукой нарисовать круг, приложить к нему по контуру нитку и измерить её длину точнейшей линейкой.
- И, наконец, можно использовать вариант № 3. Что это за вариант? Математика!
Источник: Flickr.com.
Как это сделал Архимед?
Архимед не знал ничего о длине окружности. Но он не волновался и начал с того, что он знает: с периметра квадрата. (На самом деле он использовал шестиугольники, но с квадратами легче работать и рисовать их, так что пойдём этим путём).
Мы не знаем длины окружности, но ради смеха давайте возьмём окружность с диаметром 1 и нарисуем её между двух квадратов.
Какой бы ни была длина окружности, она находится где-то между периметрами этих квадратов: эта длина меньше, чем периметр внешнего квадрата, но больше, чем у внутреннего.
А так как квадраты — это квадраты, то их периметры можно легко найти:
- Внешний квадрат (это легко): его стороны равны 1 (так его стороны равны диаметру нашей окружности, который как раз и есть 1), поэтому его периметр равен 4.
- Внутренний квадрат (уже не так легко): его диагональ (сверху вниз) равна диаметру окружности, т.е., 1. Мы знаем теорему Пифагора для сторон прямоугольного треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Согласно этой теореме сторона12 + сторона22 = 1. Так как стороны квадрата равны между собой, получается, что сторона2 = ½, значит, сторона внутреннего квадрата равна 1/2 или примерно 0,7. Таким образом, периметр внутреннего квадрата равен 0,7 x 4 = 2,8.
Мы можем не знать, где находится Пи, но эта тварь точно снуёт между 2,8 и 4. Можно сказать, что π находится где-то на полпути между ними, то есть π = 3,4.
Квадраты отдыхают, восьмиугольники правят миром
Мы оценили число π как 3,4, но, честно говоря, мы бы добились большего с линейкой и нитью. Что же делает нашу оценку настолько плохой?
Квадраты неэффективны. Они не очень хорошо аппроксимируют круг, а в ошибках нашего вычисления виноваты зазоры между ними. Однако увеличение числа сторон (например, до восьмиугольника) даст нам более точную подгонку и, таким образом, более верное значение числа π.
Отлично! По мере увеличения количества сторон многоугольником мы всё больше приближаемся к форме круга.
Итак, как нам теперь найти периметр восьмиугольника? Калид говорит: «Я не уверен, что я помню формулу для нахождения его периметра». Конечно, можно использовать 16-угольники или 32-угольники для улучшения нашей оценки длины окружности. Однако вопрос тот же: чему равны их периметры?
О да, вот они, те самые трудные вопросы. К счастью, Архимед использовал своего рода креативный подход к тригонометрии, в рамках которого он приближал круг двумя многоугольниками с числом сторон 2n (например, 23 = 8, 24 = 16 и т.д.), одним внешним и одним внутренним. На каждом шаге производится оценка длины окружности, которая находится между периметром внешнего и периметром внутреннего многоугольника. Если pn — это периметр внутреннего многоугольника с числом сторон 2n, а Pn — периметр внешнего многоугольника с числом сторон 2n, между которыми заключён наш круг, длина окружности которого l, то pn ≤ l ≤ Pn. На каждом шаге увеличивается число сторон многоугольников (8, 16, 32 и т.д.), и таким образом достигается всё более точная оценка.
Таким образом, Архимед проводил приближенную оценку длин различных окружностей и уже на их основе установил величину числа π. Мы же, зная, что длина окружности равна πd, где d — диаметр окружности, и взяв окружность единичного диаметра, можем тем же самым способом оценить число π.
- Периметр внутреннего многоугольника. Одна сторона внутреннего многоугольника a (например, квадрата) равна sin(x/2), где x — это угол, дополняющий угол нашего многоугольника до π.
Это легко понять на примере квадрата. Из центра круга (который совпадает с центром квадрата) проведём два радиуса в вершины нашего многоугольника (квадрата в данном случае). Это будут радиусы, так как вершины вписанного многоугольника лежат на окружности. Эти радиусы являются биссектрисами соответствующих углов многоугольника, т.е., делят угол пополам. Таким образом, в получившемся треугольнике угол, прилегающий к основанию (величину которого мы и хотим найти), равен (π—x)/2.
Из вершины треугольника опустим перпендикуляр к основанию. Получится прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен a/2, а гипотенуза равна радиусу нашей окружности, и, как следствие, ½ (так как диаметр окружности 1).
В случае квадрата, например, получится, что одна сторона внутреннего квадрата равна sin (90/2) = sin (45) ~ 0,7. Затем измеряем полный периметр: 4 * 0,7 = 2,8. Получаем тот же результат, что у нас был. Аналогичные вычисления можно провести и для вписанного восьмиугольника с учётом того, что угол там равен 45.
- Периметр внешнего многоугольника. Точно таким же образом узнаём, что один наружный сегмент равен tg(х/2), где х представляет собой угол между сторонами. Таким образом, одна часть внешнего периметра tg(45) = 1, а общий периметр = 4.
Изящно — у нас есть простая формула! Добавление большего количества сторон делает угол меньше:
- Квадраты имеют внутренний периметр 4 * sin(90/2).
- Восьмиугольники имеют восемь углов по 45 градусов с внутренним периметром 8 * sin(45/2).
Попробуйте это! С квадратом (4 стороны) мы имеем 91% точности, а с восьмиугольником (8 сторон) мы достигаем 98%!
Источник: InstaCalc.com.
Но есть одна проблема: у Архимеда не было калькулятора с волшебной кнопкой «sin». Вместо этого он использовал тождества, чтобы выразить sin и tan, а также связать между собой периметры вписанных и описанных вокруг нашей окружности многоугольников с числом сторон 2n и 2n+1.
Для этого нужно сделать следующее. Так как мы используем 2n—многоугольники, то при переходе к каждому следующему соответствующий угол у многоугольника уменьшается вдвое.
Если для n стороны соответственно внутреннего и внешнего многоугольников равны sn=sin(x/2), Tn=tg(x/2), то для n+1 будет sn+1=sin(x/4), Tn+1=tg(x/4).
Выразим формулы для (n+1) через формулы для n.
Если перейти к периметрам (помня, что у нас 2n-угольники), то получим:
Эти формулы используют только арифметику, тригонометрия здесь не требуется. Так как мы начали с такими известными числами как √2 и √1, мы можем повторно применить эту формулу, чтобы увеличить количество сторон и ещё ближе подойти к значению π.
Запускаем формулу
Начав с четырёх сторон квадрата, мы постепенно приближаемся к π.
В каждом раунде мы удваиваем количество сторон (4, 8, 16, 32, 64) и уменьшаем диапазон, в котором π может скрываться. Давайте предположим, что π находится на полпути между внутренней и наружной границами.
После 3-го этапа (32 стороны) у нас уже есть 99,9% точности. После 7 шагов (512 сторон) мы получим пять девяток. А после 17 шагов и полмиллиона сторон наше определение π достигнет предельной точности в Excel. «Неплохая техника, Архимед!», говорит Калид.
К сожалению, десятичные дроби не были изобретены в 250-м году до н.э., не говоря уже о таблицах. Поэтому Архимед должен был трудиться в поте лица с этими формулами, используя дроби. Он начал с шестиугольников (6 сторон) и продолжил до 12, 24, 48, 96 и далее. А вы пробовали когда-нибудь найти квадратный корень, используя только дроби?. Его окончательная оценка числа π, которая основывалась на многоугольнике с 96-ю сторонами, была:
Среднее число π равняется 3,14185, что является более чем на 99,9% точным. Неплохо!
Если вы любите дроби, то знаете, что загадочная симметрия 355/113 является чрезвычайно точной (99,99999%) оценкой π и была лучшей на протяжении тысячелетий.
Некоторые люди используют симметрию 22/7 для π, но теперь вы можете поправить свой монокль и усмехнуться: «Боже, 22/7 является лишь верхней границей, найденной Архимедом 2000 лет назад!».
Где исчисление?
Архимед не занимался исчислением, но он заложил основу для его развития: начал с грубой модели (квадрат, имитирующий круг) и уточнил её.
Источник: Flickr.com.
Исчисление вращается вокруг таких задач:
- Мы не знаем ответа, но у нас есть предположение. У нас было предположение для π: это число находится где-то между 2,8 и 4. Есть много специальных средств, вроде рядов Тейлора, когда необходимо делать предположительные подсчёты с разной степенью точности.
- Давайте усовершенствуем наши подсчёты. Архимед открыл, что добавление сторон даёт более точный результат. Существуют численные методы, позволяющие уточнять формулы. Например, компьютер может начать с грубой догадки относительно квадратного корня и на основе этого прийти к правильному результату (быстрее, чем если бы он начал поиск правильного ответа с самого начала).
- Можно убегать, но не прятаться. Мы не знали точно, на каком отрезке находилось π, но искали его в ловушке между двумя границами. Когда мы уменьшили внешние пределы, мы знали, что π прячется где-то внутри. Это явление официально известно как лемма о двух милиционерах (в русской версии).
- π является недостижимым идеалом. Поиск π — это процесс, который никогда не заканчивается. Когда мы видим π, мы сталкиваемся с дилеммой: «Вы хотите совершенства? Хотеть не вредно. Просто начните искать и сумейте остановиться, когда π станет достаточно точным».
Я скажу это снова: достаточно хорошо — это достаточно хорошо. Фигура с 96-ю сторонами была достаточна хороша для того, чего Архимед хотел добиться. Идея «близкого подсчёта» кажется странной: разве математика не должна быть точной? Но математика является моделью для описания мира. Наши уравнения не должны быть остры как бритва, если вселенная и наши инструменты и так достаточно нежны», заключает Калид Азад и приводит в конце своей статьи несколько уроков, которые можем извлечь из поиска числа π.
Уроки жизни
Даже математика может заключать в себе скрытые уроки жизни. Иногда лучшее — враг хорошего. Перфекционизм («Мне нужно точное значение π!») может помешать найти хорошие и удобные результаты.
Будь то создание оценки или написание программного обеспечения, возможно, вам стоит начать с грубой версии и улучшать её в течение какого-то времени без мучительных раздумий о какой-то совершенной модели (ведь это работало у Архимеда!). Большая точность может зависеть от начальных шагов, а будущие подсчёты могут сделать необходимые уточнения (Принцип Парето в действии).
По иронии судьбы, «грубые» методы, представленные здесь, привели к появлению систем исчисления, что, в свою очередь, привело к улучшению формулы для нахождения π.
Источник: Flickr.com.
Уроки математики
Исчислению часто не хватает определённой приземлённости: мы можем считать яблоки, изучая арифметику, но слишком трудно думать об абстрактных уравнениях, которые неоднократно совершенствовались.
Открытие Архимедом π является ярким конкретным примером для нашего инструментария. Так же, как геометрия уточняет наши знания о линиях и углах, исчисление определяет правила уравнений, которые могут становиться совершеннее со временем. Это пример того, когда интуиция используется в качестве отправной точки, оставляя позади изучение новых идей в вакууме.
Позже мы обсудим, что это значит для числа – «быть достаточно близко». Просто помните, что 96 сторон были достаточно хороши для Архимеда, а полмиллиона сторон достаточно хороши для Excel. У каждого из нас есть свои пределы.
Трудно с этим не согласиться. Но пока есть возможность, мы будем эти пределы расширять, погружаясь в загадки математики с Better Explained.
По материалам Better Explained.
