Better Explained: Интегралы как улучшенное умножение

Кто-то, может быть, даже помнит, что интеграл — это некая площадь области под кривой. На самом деле определение определённому интеграл у функции через площадь некой фигуры (здесь никак без тавтологии) даёт и Википедия. Но есть в этом определении какая-то интуитивная заминка — говорить, что интеграл определяется через площадь некоторой области так же странно, как и говорить, что умножение необходимо для вычисления площади прямоугольника. Суть интегралов гораздо глубже и интересней, чем мы думаем.

Можем поспорить, что вы бы искренне полюбили интегрировать, если бы в школе вам рассказали об этом процессе простым толковым языком. Ну давайте хотя бы представим, как это могло бы происходить.

Интегралы — это настоящее волшебство.

Источник: Википедия

«Здравствуй, мой юный дружок! Сегодня мы с тобой поговорим о загадочных интегралах. Они обладают суперсилой, которая позволяет умножать изменяющиеся числа, то есть переменные. Ты прекрасно понимаешь, что 3 х 4 = 12, но интеграл ведёт нас гораздо дальше, сынок. Я расскажу тебе многое о площади, но помни, что площадь — это лишь один из способов представить процесс умножения визуально. Суть не в площади, суть в получении нового результата из количественных значений. Если ты интегрируешь длину и ширину, ты получишь самую обычную старую добрую площадь фигуры. Но с помощью интеграла можно оперировать временем и скоростью, чтобы вычислить расстояние, или длиной/шириной/высотой, чтобы получить объём. Интеграл нам нужен, когда хочется что-то умножить, но никак не получается. Интеграл — это оружие профессионалов. Площадь — лишь способ отображения, не зацикливайся на ней, сынок. А теперь вперёд, к высшей математике!»

Вот он, момент озарения: интегрирование — это улучшенное умножение, которое работает и для переменных значений. Давайте попробуем взглянуть на интегралы в этом новом свете.

Идём к пониманию умножения

С течением времени наше восприятие умножения менялось:

• Если умножение касается целых чисел (3 х 4), то это просто повторяемое сложение;
• Если умножение касается действительных чисел (3,12 x √2), то это масштабирование;
• Если умножение касается отрицательных числе (-2,3 х 4,3), то это переворачивание и масштабирование;
• Если умножение касается комплексных чисел, то это поворачивание и масштабирование.

Таким образом, мы приходим к некой общей концепции «применения» одного числа к другому числу, и существуют разные способы этого применения (повторяемое сложение, масштабирование, переворот или поворот). Интегрирование — это ещё один шаг на этом пути.

Идём к пониманию площади

Площадь фигуры — не такая уж и тривиальная тема. Давайте взглянем на площадь как на графическое представление умножения:

К каждой указанной точке на оси мы применяем свойство (число 3 мы применяем к числу 4) и получаем результат (12 квадратных единиц измерения).

Источник: betterexplained.com

К каждой указанной точке на оси мы применяем свойство (число 3 мы применяем к числу 4) и получаем результат (12 квадратных единиц измерения). Свойства каждой единицы введённых данных (в данном случае длины двух сторон) трансформировались в результат (квадратные единицы измерения).

Всё просто, да? На самом деле нет. Результат умножения может оказаться в отрицательной зоне (3 х (-4) = -12), которой не существует в реальном мире.

График — это отображение умножения, его аналогия. Даже если бы у нас не было зрения или мы не догадались составлять графики и диаграммы, мы всё равно могли бы умножать. Площадь фигуры — лишь способ интерпретации.

Кусочное умножение

А теперь давайте умножим 3 х 4,5:

Да, 4,5 — это не целое число, но мы можем разбить множитель на кусочки.

Источник: betterexplained.com

Что происходит? Да, 4,5 — это не целое число, но мы можем разбить множитель на кусочки. Если 3 х 4 = 3 + 3 + 3 + 3, то

3 х 4,5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3х0,5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1,5 = 13,5

Мы берём число 3 (множимое) 4,5 раз, то есть берём четыре раза по целому числу 3, и один раз его половинку.

Мы спокойно можем разбить число на части, умножить каждую его часть и сложить полученные результаты. Обратили внимание на то, как мы поступили с дробной частью? Запомните этот момент, он нам пригодится в работе с интегрированием.

Сталкиваемся с проблемой

Вообще-то числа в реальном мире не остаются неизменными, чтобы нам было удобно с ними работать. Условия вроде «Вы едете со скоростью 60 км/ч в течение 3 часов» — это дань удобству, не имеющая ничего общего с реальностью.

Формулы вроде «расстояние — это скорость, помноженная на время» просто маскируют проблему. Она требует статических чисел. А как определить пройденное расстояние, если скорость, с которой мы передвигаемся, меняется с течением времени?

Описываем изменения

Наш первый вызов — определить переменную. Мы не можем просто сказать «Моя скорость изменилась с 0 км/ч до 30 км/ч». Упущено множество нюансов: насколько быстро произошло изменение в скорости? Было это резкое изменение или постепенное?

Давайте будем конкретными. Допустим, каждую секунду я увеличиваю свою скорость на 2 км/ч. В первую секунду я еду со скоростью 2 км/ч. Во вторую секунду — со скоростью 4 км/ч. В третью — 6 км/ч, и так далее:

В первую секунду я еду со скоростью 2 км/ч. Во вторую секунду — со скоростью 4 км/ч. В третью — 6 км/ч, и так далее.

Источник: betterexplained.com

Такого описания условий вполне достаточно, чтобы вычислить нашу скорость в любой момент времени. Формальное определение звучит как «скорость — это функция времени». Мы можем взять любое значение времени (t) и вычислить скорость нашего передвижения в этот момент времени (2t км/ч).

Мы никак не объясняем взаимосвязь между скоростью и временем. Я могу ускоряться из-за законов гравитации или просто из-за того, что в спину мне дышит единорог. Суть в том, что мы изначально оказались в условиях, когда скорость растёт с каждой секундой.

Поэтому лучше нашу формулу «расстояние = скорость * время» записать следующим образом:

где скорость(t) — это скорость в конкретный момент времени. В нашем случае скорость (t) = 2t, поэтому мы записываем:

Но и это уравнение выглядит странно. t всё ещё выглядит как отдельное значение, которое нам необходимо выбрать (t = 3 секунды), а значит, и у скорости(t) будет одно значение (6 км/ч). Это не очень хорошо.

Простое умножение позволяет нам взять одно значение скорости и масштабировать его до целого прямоугольника. Но изменяющаяся скорость требует от нас поэтапного, поштучного, посекундного умножения скорости и времени. Каждое полученное значение будет отличаться от другого.

Здесь происходит значительный сдвиг в подходе:

• Обычное умножение (прямоугольное): берём расстояние, которое мы проходим за одну секунду, предполагаем, что оно одно и то же для всех секунд, и масштабируем;
• Интегрирование (покусочное): воспринимаем время как серию значений, у каждого из которых — своё значение скорости. Итоговое значение расстояния получаем, складывая получившиеся значения расстояния в каждую секунду.

Обычное умножение — это всего лишь частный случай интегрирования, где числовые значения не изменяются.

Какого размера должен быть «кусок»?

Насколько большим (или маленьким) должен быть «кусок», на который мы делим значение? Секунда? миллисекунда? Наносекунда?

Если кратко: достаточно небольшим, чтобы значения выглядели однородно. Нам не нужна идеальная точность.

Если подлиннее: пределы были изобретены как раз для того, чтобы разложить умножение на кусочки. Крайне полезная вещь, но на данном этапе она отвлечёт нас от основной идеи «складывания». Меня всегда смущало, что пределы вводятся в понятийный аппарат в самом начале курса высшей математики, до того как мы начинаем осознавать саму идею интегрирования. С таким же успехом мы могли бы показывать ремень безопасности до того, как учим водить машину. В общем, пределы нам ещё пригодятся, но у того же Ньютона не было никаких проблем с алгеброй и без них.

Как определить начало и конец промежутка?

Давайте посмотрим на интервал времени от 3 до 4 секунд.

Скорость на начало промежутка (3х2 = 6 км/ч) отличается от скорости на конец (4х2 = 8 км/ч). Какое значение мы используем при вычислении «скорость*время»?

Суть в том, что мы разбиваем интервал на достаточно малые куски (3,00000 – 3,00001 с.), чтобы разница в скорости на начало интервала и на конец интервала не имела для нас значения. На самом деле это предмет для отдельного разговора, но пока просто доверьтесь мне: всегда можно найти некоторый промежуток времени, лишающий разницу в значении всякого смысла.

Где находится нужный нам «кусок», и каково его значение?

Мы договорились, что кусочком будет являться выбранный нами интервал (1 секунда, миллисекунда, наносекунда). За его положение мы принимаем начало этого интервала. Значением будет являться наша скорость в этом положении.

Возьмём, к примеру, интервал от 3 до 4 секунд:

• Ширина временного отрезка: 1,0 секунд
• Положение (время начала): 3,0 секунд
• Значение (скорость(t) = скорость(3,0)): 6,0 км/ч

Представьте на графике каждый интервал как отдельную точку на линии. От каждой такой точки вы можете провести перпендикуляр к значениям скорости, и искомой «площадью» будет являться как раз область, составленная из таких перпендикуляров. Высшая математика позволяет нам сужать интервал до тех пор, пока мы не перестанем видеть разницу между началом и концом временного отрезка. Держите в голове общую картину: мы умножаем целую серию кусочков.

Идём к определению интеграла

Итак, у нас есть некоторое понимание «покусочного умножения», но пока нет чёткого способа это выразить. «Расстояние = скорость(t)*t» выглядит как обычное уравнение, где t и скорость(t) принимают одно значение.

В алгебре отношения между двумя частями этого уравнения выражаются вот так:

Знак интеграла (S-изогнутая кривая) означает, что мы умножаем покусочно, а потом складываем результаты; dt — это один конкретный «кусок» времени, о котором мы говорим. Мы называем его «дельта t», а не «d, умноженное на t»; t — это положение dt (если dt — это отрезок от 3,0 до 4,0, то t = 3,0); скорость(t) представляет собой значение, на которое мы умножаем (скорость(3,0) = 6,0).

Читаем интеграл

Проще всего прочитать это как обычное умножение: расстояние — это некоторое количество значений скорости, помноженных на время, сложенных между собой. В уме я представляю скорость(t) как просто скорость, а dt — как просто время.

Вопросы для размышлений

Все любят f(x) и интегралы.

Источник: myfuckingcomics

Интегрирование — глубокая концепция (как и умножение). Возможно, у вас родились некоторые вопросы в ходе прочтения. Ну, к примеру, такие:

• Если интегралы позволяют умножать изменяющиеся значения, есть ли что-то, что позволяет их делить? (Да — это производные);
• Можно ли преобразовывать уравнения вида «расстояние = скорость*время» на «скорость = расстояние/время»? (Да);
• Можно ли совместить несколько переменных? (Да);
• Имеет ли значение порядок, в котором мы используем переменные? (Как правило, нет).

Очень здорово воспринимать интегралы как улучшенное умножение; так очень просто перейти к дифференцированию как к улучшенному делению. Восприятие интегралов через площадь области на графике совершенно не связывает такие важные понятия в алгебре в одну общую картину, а значит, упускает самое главное.