Размножение бактерий, распространение фамилий и выполнение заданий на сервере — с точки зрения математики между этими явлениями нет никакой разницы. Заинтригованы?
Мы продолжаем уроки математики от профессора Нелли Литвак. Напомним, в группе «Математика — великая и ужасная!» Нелли вместе с журналистом Аллой Кечеджан помогают взрослым гуманитариям освоить великую и ужасную науку «с нуля». Они постоянно доказывают, что: а) математику может постигнуть каждый; б) социальные сети — отличное пространство для образования.
Сегодня будет мало заданий, но много рассуждений. Так что не расслабляйтесь! А предыдущие уроки хранятся в этой коллекции. Передаём слово профессору.
Продолжаем разговор про степени, бактерии, а через пару заданий дойдём до пользы прививок. И всё это математика!
Занятие 10. Математическая связь поколений.
Читайте также:
Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 9Кто-то проницательный из участников спросил по поводу предыдущего урока: а что будет в задачке про размножение бактерий, если у некоторых бактерий вообще нет потомков? Это отличный вопрос. Давайте разберёмся.
Для начала договоримся, что значит «в среднем». Допустим, у ребёнка по рисованию в школе 3, 4, 5, 5. Как считаем средний балл? (3+4+5+5)/4=17/4=4,25. Все баллы ровные, но средний балл дробный, это нормально.
Теперь допустим, у нас есть бактерии, которые живут один день. У бактерии шанс 1/3 произвести двух потомков и шанс 2/3 — не произвести ни одного. Сколько в среднем потомков на одну бактерию? Из трёх бактерий в среднем одна произведёт двух потомков и две — ни одного (см. рисунок 1). То есть в среднем 2/3 потомка на бактерию.
В следующем поколении то же самое: в среднем одна из трёх бактерий производит двух потомков, а две просто погибают. И так далее. Я понимаю, что кого-то напрягают 2/3 бактерии. Но это не то же самое, что «полтора землекопа» (как на ностальгическом рисунке 2). Потому что мы говорим о среднем количестве потомков. Так и нужно это понимать. В среднем два потомка на трёх родителей, совершенно случайным образом.
ЗАДАНИЕ. Теперь допустим, у нас миллион бактерий. Время пошло: день, другой, третий, и так далее. Как вы думаете, что произойдёт с нашим миллионом бактерий? Как их количество будет меняться, и к чему это приведёт?
Читайте также:
«Ритм Вселенной»: светлячки и математикиЭто задание в принципе помогает понять, что будет с популяцией, если на трёх взрослых представителей приходится в среднем два потомка. В нашей задаче были «идеализированные» бактерии. Но может быть и что-то другое.
Например, находящиеся под угрозой животные, скажем, медведь панда.
Или это могут быть задания на сервере. Из трёх заданий два выполняются полностью, а третье приводит к двум новым заданиям.
Это могут быть даже фамилии людей. Скажем, фамилия передаётся от отца к сыну, и в среднем на трёх отцов приходится два сына.
Всё это мы описываем одним и тем же процессом, где одно поколение «индивидуумов» порождает следующее поколение с точно такими же свойствами.
Такие процессы мы называем ветвящимися процессами. И они играют в математике большую роль. По крайней мере, в моей области — прикладной теории вероятностей и случайных графах.
Что же будет с нашими бесплодными бактериями и ленивыми пандами? В задаче на трёх взрослых в среднем двое детей. Население в каждом поколении уменьшается на треть.
Что произойдёт с этим населением? Допустим, мы начали с миллиона индивидуумов (бактерий, заданий, фамилий – чего угодно). В следующем поколении население в среднем «уменьшится на треть», то есть будет 2/3 от миллиона.
(1 000 000)*(2/3)
Во втором поколении снова останется только 2/3.
(1 000 000)*(2/3)*(2/3)
или
(1 000 000)*(2*2)/(3*3) = (1 000 000)*(2^2)/(3^2).
В десятом поколении мы получим в среднем
(1 000 000)*(2^10)/(3^10) = 17341.5
Всего 17 тысяч от целого миллиона!
И ничего удивительного. Как быстро растут степени двойки или десятки, точно так же быстро тают и исчезают степени 2/3. От населения остаётся 2/3, потом снова 2/3 и так далее. В среднем через 35 поколений миллионное население исчезнет с лица земли.
Естественно, процесс тот же, если вместо 2/3 взять любое число меньше 1.
А что, если потомков в среднем ровно 1? Это нетривиальный вопрос, и тут нужно математическое доказательство.
Если каждый представитель населения всегда производит ровно одного потомка, то, конечно, население будет оставаться прежним на века.
А вот если у нас случайный процесс, то всё не так.
Допустим, случайным образом половина населения производит двух потомков, а половина — ноль. То есть в среднем два родителя производят двух потомков, один потомок на родителя.
Оказывается, что такое население неизбежно исчезнет! В какой-то момент никто из населения не произведёт потомства. Согласно теории вероятностей, в каком-то поколении это обязательно произойдет. Вывод: чтобы население не сокращалось, два ребёнка в среднем на семью это МАЛО!
Лирическое отступление об эпидемиях и прививках.
Читайте также:
Математика по-сингапурскиА теперь поговорим об эпидемиях и прививках. Для начала повторю, что мы уже поняли.
Допустим, каждая бактерия производит двух потомков. Тогда в пятом поколении будет всего 2*2*2*2*2=2^5=32 бактерий.
Сколько нужно поколений, чтобы бактерий стало миллион? Нужно, чтобы 2^[количество поколений] стало 1000000. Это не что иное, как логарифм от 1000000 по основанию два. Ответ — примерно 19.93, то есть двадцати поколений достаточно.
Понято, что двойку можно заменить любым числом больше единицы.
Число может быть и дробным, потому что часто мы говорим о «среднем» числе потомков на индивидуума.
Например, половина бактерий производит двух потомков, а половина — одного. Получается в среднем 1,5 потомка на родителя. Население будет расти медленнее, но всё равно заметно. Можете сами посчитать.
Зато если на бактерию в среднем меньше одного потомка, то картина кардинально меняется. Например, если из четырёх бактерий одна производит двух потомков, а три — ни одного, то у нас в среднем два потомка на четыре родителя, или в среднем 1/2 потомка на родителя.
Что произойдёт с таким населением? В каждом поколении оно будет уменьшаться в среднем вдвое, окажется на грани исчезновения и, в конце концов, исчезнет!
Понятно, что 1/2 можно заменить любым числом меньше 1. Если в новом поколении в среднем остаётся 9/10 от предыдущего, то такое население тоже погибнет.
Мы уже обсуждали «демографические» выводы из этих вычислений. Но это далеко не всё! Выводы из подобных моделей говорят и о глобальности социальных сетей, и о распространении слухов и эпидемий.
Удивительное явление, которое делает нашу модель такой полезной для понимания реальных процессов — это чёткая граница между двумя сценариями.
Если в среднем потомков на родителя меньше 1, то население исчезнет, а если больше 1 — то население может расти до бесконечности!
Единица — это «критическое» значение. При переходе через 1 весь процесс резко меняется.
Такое явление типично в подобных задачах. Оно называется «фазовый переход».
Если R больше 1, то жди большой эпидемии!
Из этого сразу следует, что прививки — это вопрос не только индивидуальный, но и общественный.
Допустим, вакцина эффективна в том смысле, что привитый человек не заражается или, по крайней мере, заражается с гораздо меньшей вероятностью. Тогда каждый привитый уменьшает число R. Если все привиты, то R равно нулю, никого заразить невозможно!
А что если люди начитались Интернета и начинают отказываться от прививок?
Если таких единицы, то R по-прежнему маленькое. Поскольку большинство привиты, то эпидемия, может, до вас и не дойдёт. Фактически, привитые люди защищают вас от болезни. Это как в дождик: если все с зонтами, то можно пройти сухим под зонтами других людей.
Но если непривитых всё больше и больше, то мы начинаем подбираться к критическому порогу. Зонтиков на улице недостаточно, и у вас все шансы намокнуть. Только, как сказал голландский телеведущий Арьен Любах, дождик полиомиелитный!
Добавлю, что модели для реальных болезней гораздо сложнее, чем размножение моих «идеальных» бактерий. Тем не менее, фазовый переход в таких задачах — типичное явление.
Надеюсь, теперь и логарифмы и степени не кажутся такими уж «великими и ужасными». На следующем занятии приступим к тому, от чего многих детей и взрослых бросает в дрожь — к задачкам по тригонометрии.
