Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 11
12+
  вернуться Время чтения: 5 минут   |   Комментариев нет
Сохранить

Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 11

Приступаем к великой и ужасной тригонометрии.

Продолжаем уроки математики от профессора Нелли Литвак. В прошлый раз мы говорили о математическом основании вакцинации, математике и численности популяций, и, надеемся, все усвоили, зачем нам нужны степени и логарифмы. Сегодня нам предстоит новое знакомство с синусом и косинусом, а ещё мы узнаем, почему математикам нужно уметь сдаваться.

image_image
Популяризация тригонометрии в интернет-сообществах.
(источник: pikabu.ru)
Напомним, в группе «Математика — великая и ужасная!» Нелли вместе с журналистом Аллой Кечеджан помогают взрослым гуманитариям освоить великую и ужасную науку «с нуля». А на сайте Newtonew публикации из группы с обсуждениями собраны в виде уроков, чтобы их не поглотил океан соцсетей. Все предыдущие занятия можно найти здесь.

 Передаём слово профессору.

quote_image

Тригонометрия начинается с окружности, а точнее, с движения по окружности. Синусы и косинусы рассказывают нам историю о вращении — и историю вечного бессилия, с которым математики сталкиваются на каждом шагу.

Нелли Литвак, профессор прикладной математики, университет Твенте, Нидерланды

Занятие 11. Приступаем к тригонометрии

Что же такое эти синусы и косинусы? Что они означают и зачем они нужны?

Представьте себе окружность радиуса 1 с центром в начале координат, как на рисунке 1.  

image_image
Рисунок 1.
Теперь давайте возьмём точку (1,0) и повернём эту точку против часовой стрелки на какой-то угол, скажем, 50 градусов, как на рисунке 2.
image_image
Рисунок 2.

Почему против часовой стрелки? Потому что мы так договорились: угол вращения увеличивается против часовой стрелки. Точно так же, как координата х увеличивается слева направо, а координата у — снизу вверх. Не обязательно угол 50 градусов, давайте возьмём любой угол, назовём его великой и ужасной греческой буквой альфа, как на рисунке 3. Альфа у нас будет любым углом от 0 до 360 градусов против часовой стрелки.

image_image
Рисунок 3.

Получилась точка, на рисунке 3 я её обвела красным цветом. Мы точно знаем, где она находится и как её найти: надо только повернуться на угол альфа градусов по окружности против часовой стрелки.

И поскольку эта точка на плоскости, то у неё есть координата х и координата у, на рисунке 3 я написала (х,у). И вот математики задаются вопросом: если мы всё знаем про эту точку, то какие у неё координаты х и у? А?

Даже если мы знаем угол альфа, то мы просто не в состоянии подсчитать координаты этой точки! У нас для этого нет формулы! В университете на курсе анализа выясняется, что формула всё-таки есть. Она называется «ряд Тейлора». Но в ней бесконечное число слагаемых. А простой короткой формулы нет.

В подобной ситуации математики используют приём, который Джейсон Вилкес в книге «Сожгите класс математики» называет «Искусство сдаться».  
image_image
Я не ослышался: искусство сдаться???
(источник: cdn.pixabay.com)

Если для какого-то объекта нет формулы, то мы просто придумываем название для этого объекта. Желательно, конечно, название великое и ужасное. Чтобы никто не догадался о нашем бессилии.

Вот так. Поскольку мы не можем подсчитать координаты х и у, то мы назовём координату х косинусом угла альфа, а координату у — синусом угла альфа. Как на рисунке 4. Это синус и косинус. И всё. И больше НИЧЕГО!  

Синус и косинус — всего лишь координаты точки на окружности с радиусом 1. 
image_image
Рисунок 4. 

Задание №1. Разбираемся со школьной формулой

Может показаться удивительным, но «искусство сдаться» математиков полностью устраивает. Ведь самое главное в математике — выяснять закономерности. Для этого нам нужно только знать, что означают синус и косинус. Мы договорились, что это координаты точки на окружности радиуса 1. И этого достаточно, чтобы выяснить закономерности, связанные с синусом, косинусом, окружностью и вращением.

Именно об этом будет задание. Давайте разберёмся в одной из школьных формул.  

ЗАДАНИЕ. Чтобы получить поворот на угол (90+альфа) градусов, нужно сначала повернуться против часовой стрелки на 90 градусов, а потом ещё на альфа градусов, см. рисунок 5. Объясните, почему:

cos(90+alpha) = - sin(alpha) sin(90+alpha) = cos(alpha).

Формулы написаны на рисунке 5. Удачи!  

image_image
Рисунок 5.

Кстати, рекомендую почитать обсуждения этого задания в группе. Я сама узнала много нового. Посмотрите комментарии, там есть великолепная интерпретация с хордами и история происхождения слова «синус»!  

image_image
Тригонометрическая церемония в престижном женском колледже Вассара, США, 1889.
(источник: math.vassar.edu)

Задание №2. Торжественное тождество

Как мы поняли, подсчитать синус и косинус по формуле нельзя. Зато между ними можно устанавливать связи. Сегодня мы поговорим об одной такой связи.

На рисунке 6 я нарисовала окружность, угол альфа, синус и косинус. Какая связь между синусом и косинусом? Ну, например, такая (см. внизу рисунка):

[синус альфа в квадрате] +[косинус альфа в квадрате] = 1  

image_image
Рисунок 6. Внизу — основное тригонометрическое тождество.

В формуле квадрат (маленькая двойка наверху) ставится после sin, а не после альфа, чтобы было понятно, что мы возводим в квадрат синус, а не угол.

Это равенство в школе называют основное тригонометрическое тождество. Звучит очень торжественно. Но посмотрите внимательно: этот прямоугольный треугольник и эти квадраты ничего вам не напоминают?

ЗАДАНИЕ. Объясните, почему [синус альфа в квадрате] +[косинус альфа в квадрате] = 1. Заметьте, что равенство верно для любых углов. Для примера я нарисовала тупой угол на рисунке 7. 

image_image
Рисунок 7.

Получилось? Теперь мы можем подсчитать синус и косинус 45 градусов, см. рисунок 8.

image_image
Рисунок 8.

Объяснения к этому заданию можно найти здесь.

А к следующему разу я приготовлю вам ещё кое-что великое и ужасное.  

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

статьи по теме

Дэн Мейер: математика нуждается в перестройке

Наука, жизнь и смерть: история великого математика-самоучки

Математика для гуманитариев на YouTube