Продолжаем уроки математики от профессора Нелли Литвак. В прошлый раз мы говорили о математическом основании вакцинации, математике и численности популяций, и, надеемся, все усвоили, зачем нам нужны степени и логарифмы. Сегодня нам предстоит новое знакомство с синусом и косинусом, а ещё мы узнаем, почему математикам нужно уметь сдаваться.
Передаём слово профессору.
Тригонометрия начинается с окружности, а точнее, с движения по окружности. Синусы и косинусы рассказывают нам историю о вращении — и историю вечного бессилия, с которым математики сталкиваются на каждом шагу.
Занятие 11. Приступаем к тригонометрии
Что же такое эти синусы и косинусы? Что они означают и зачем они нужны?
Представьте себе окружность радиуса 1 с центром в начале координат, как на рисунке 1.
Почему против часовой стрелки? Потому что мы так договорились: угол вращения увеличивается против часовой стрелки. Точно так же, как координата х увеличивается слева направо, а координата у — снизу вверх. Не обязательно угол 50 градусов, давайте возьмём любой угол, назовём его великой и ужасной греческой буквой альфа, как на рисунке 3. Альфа у нас будет любым углом от 0 до 360 градусов против часовой стрелки.
Читайте также:
Математика по-сингапурскиПолучилась точка, на рисунке 3 я её обвела красным цветом. Мы точно знаем, где она находится и как её найти: надо только повернуться на угол альфа градусов по окружности против часовой стрелки.
И поскольку эта точка на плоскости, то у неё есть координата х и координата у, на рисунке 3 я написала (х,у). И вот математики задаются вопросом: если мы всё знаем про эту точку, то какие у неё координаты х и у? А?
Даже если мы знаем угол альфа, то мы просто не в состоянии подсчитать координаты этой точки! У нас для этого нет формулы! В университете на курсе анализа выясняется, что формула всё-таки есть. Она называется «ряд Тейлора». Но в ней бесконечное число слагаемых. А простой короткой формулы нет.
Если для какого-то объекта нет формулы, то мы просто придумываем название для этого объекта. Желательно, конечно, название великое и ужасное. Чтобы никто не догадался о нашем бессилии.
Вот так. Поскольку мы не можем подсчитать координаты х и у, то мы назовём координату х косинусом угла альфа, а координату у — синусом угла альфа. Как на рисунке 4. Это синус и косинус. И всё. И больше НИЧЕГО!
Задание №1. Разбираемся со школьной формулой
Может показаться удивительным, но «искусство сдаться» математиков полностью устраивает. Ведь самое главное в математике — выяснять закономерности. Для этого нам нужно только знать, что означают синус и косинус. Мы договорились, что это координаты точки на окружности радиуса 1. И этого достаточно, чтобы выяснить закономерности, связанные с синусом, косинусом, окружностью и вращением.
Именно об этом будет задание. Давайте разберёмся в одной из школьных формул.
ЗАДАНИЕ. Чтобы получить поворот на угол (90+альфа) градусов, нужно сначала повернуться против часовой стрелки на 90 градусов, а потом ещё на альфа градусов, см. рисунок 5. Объясните, почему:
cos(90+alpha) = - sin(alpha) sin(90+alpha) = cos(alpha).
Формулы написаны на рисунке 5. Удачи!
Кстати, рекомендую почитать обсуждения этого задания в группе. Я сама узнала много нового. Посмотрите комментарии, там есть великолепная интерпретация с хордами и история происхождения слова «синус»!
Задание №2. Торжественное тождество
Как мы поняли, подсчитать синус и косинус по формуле нельзя. Зато между ними можно устанавливать связи. Сегодня мы поговорим об одной такой связи.
На рисунке 6 я нарисовала окружность, угол альфа, синус и косинус. Какая связь между синусом и косинусом? Ну, например, такая (см. внизу рисунка):
[синус альфа в квадрате] +[косинус альфа в квадрате] = 1
Читайте также:
Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 8В формуле квадрат (маленькая двойка наверху) ставится после sin, а не после альфа, чтобы было понятно, что мы возводим в квадрат синус, а не угол.
Это равенство в школе называют основное тригонометрическое тождество. Звучит очень торжественно. Но посмотрите внимательно: этот прямоугольный треугольник и эти квадраты ничего вам не напоминают?
ЗАДАНИЕ. Объясните, почему [синус альфа в квадрате] +[косинус альфа в квадрате] = 1. Заметьте, что равенство верно для любых углов. Для примера я нарисовала тупой угол на рисунке 7.
Получилось? Теперь мы можем подсчитать синус и косинус 45 градусов, см. рисунок 8.
Объяснения к этому заданию можно найти здесь.
А к следующему разу я приготовлю вам ещё кое-что великое и ужасное.
