Говорят, что математику надо учить в детстве, а потом — безнадёга. Однако я считаю, что всё происходит вовремя. Когда я была маленькой, не было даже калькуляторов, не говоря уже о компьютерах, которые рисуют многомерные графики. К тому же не было никакой возможности задавать вопросы профессору математики онлайн.
Алла Кечеджан, журналист с 20-летним стажем
Здесь можно задавать вопросы «А зачем это вообще знать?» и «Почему это нужно доказывать?». Можно и нужно делать ошибки. Но нельзя сомневаться в своих способностях к математике и категорически нельзя кого-либо критиковать.
Алла Кечеджан и Нелли Литвак бросают спасательный круг тем, кто не верит в свои математические способности.
Newtonew поддерживает инициативу по реабилитации запуганных школьной математикой гуманитариев. У нас на сайте Нелли каждую неделю делится пройденным материалом. На прошлых занятиях читатели Newtonew доказывали теорему Пифагора и подступили к вычислению длины кривой. Сегодня двигаемся дальше, в дремучий лес интегралов и производных...
Учёные давно доказали, что «математического гена» не существует. Математику, как и велосипед, в состоянии осилить любой человек.
Нелли Литвак, профессор прикладной математики, университет Твенте, Нидерланды
Занятие 3. Великие и ужасные интеграл и производная
Задание №1. Наконец-то интеграл
Пора разбираться, как же все-таки вычислить длину кривой. Мы уже обсудили, что для этого нам понадобится теорема Пифагора. Но этого недостаточно. Ещё нам нужен гений основателей математического анализа — Ньютона и Лейбница.
Из предыдущего задания многие поняли главную идею. Кривая разбивается на маленькие кусочки, каждый из которых очень похож на прямой отрезок — гипотенузу маленького треугольничка. На рисунке 1 наша знакомая парабола у=х^2 (х в квадрате) и самые маленькие треугольнички, которые мне удалось нарисовать. (На формулу под рисунком пока не смотрите).
Рисунок 1
Длину каждой маленькой гипотенузы можно подсчитать по теореме Пифагора, а потом всё это сложить. Посмотрите, на рисунке 1 красная линия, состоящая из маленьких гипотенуз, практически не отличается от кривой.
Многие догадались, что делать дальше. Треугольники должны становиться всё меньше и меньше.
На рисунке 1 у одного треугольничка справа я подписала стороны. Сторону, параллельную оси х, я обозначила dx, а сторону, параллельную оси у, обозначила dy. Шажок dx по оси х мы задаем сами и можем сделать его всё меньше и меньше. На рисунке я написала, что dx уменьшается. В математике мы говорим: «Стремится к нулю». Это обозначается стрелочкой, как на рисунке: dx → 0. Понятно, что и dy, и гипотенуза тоже будет становиться всё меньше и меньше и стремиться к нулю.
Что будет, когда dx станет бесконечно маленьким? Если включить воображение, то понятно, что красная линия превратится в параболу!
Отлично. Осталось только понять, как сложить бесконечное количество бесконечно маленьких гипотенуз! Мда...
Дорогие друзья, пришло время посмотреть на формулу под рисунком 1. Начнём с самого страшного — жуткой загогулины в самом начале. Знакомьтесь, это и есть интеграл.
Извините за громкое имя, в нашей науке есть отвратительная традиция обзывать всё подряд сложными и непонятными словами. В качестве компенсации мы всё это пишем с маленькой буквы.
Участники группы с нетерпением ждали, когда же будет интеграл, и вдохновлялись классикой.
На самом деле страшная загогулина — это вытянутая латинская буква S. Похоже? S от слова sum — «сумма».
Интеграл — это просто сумма бесконечного числа бесконечно маленьких слагаемых.
Заслуга Ньютона и Лейбница в том, что они смогли придать этому смысл, дать строгое определение и научились это считать. Мы с вами разберёмся в смысле, а считает пусть программа Wolfram, её для этого и придумали.
Итак, интеграл — это сумма бесконечного числа бесконечно маленьких слагаемых. Сразу после знака интеграла (математики говорят: «под интегралом») написано, как в данном случае выглядят слагаемые. В нашем случае слагаемые — это крошечные гипотенузы. И посмотрите, именно это и написано под интегралом: длина гипотенузы по теореме Пифагора! Узнали?
А что означают -2 и 2 под и над знаком интеграла? Вы, наверное, уже догадались: они обозначают, откуда и докуда мы хотим посчитать длину параболы. В математике это называется «пределы интегрирования».
Достаточно ли этого, чтобы посчитать длину кривой? Увы, пока нет. Посмотрим снова на выражение под интегралом (тот самый квадратный корень, который у нас получился по теореме Пифагора). Откуда видно, что это длина именно параболы, а не какой-то другой кривой? Честно говоря, пока это ниоткуда не видно.
Посмотрите на рисунок 2. У меня не было под рукой листочка в клеточку и красной ручки, но, надеюсь, рисунок понятен. Это другая кривая: y=x^3-8x^2. Кривая-то другая, а принцип тот же. И поэтому выражение под интегралом пока такое же.
Рисунок 2
Значит, мы ещё не разобрались до конца. Нам нужно понять: каким образом форма кривой влияет на выражение под интегралом? «Собака зарыта» в dy.
Вернёмся к рисунку 1. Я отметила точку х, и от этой точки отложила dx. От чего зависит dy?
- От длины dx.
- От того, насколько «крутая» наша кривая в районе точки х. И, конечно, эта «крутизна» будет разной для разных кривых. Поэтому у параболы будет одно изменение dy, а у кривой на рисунке 2 — совсем другое.
Нам понадобится два-три задания, чтобы в этом разобраться. Для начала попробуем понять, чему равно dy на параболе.
ЗАДАНИЕ. Посмотрите на рисунок 1. Вы увидите, что dy — это разница между двумя значениями у: в точке х и в точке, «близкой к х», которая находится на расстоянии dх. Теперь воспользуйтесь формулой для параболы у=х^2, чтобы подсчитать dy в конкретной точке.
Например: подсчитайте dy если х=4/3 (примерно 1,33333, как на рисунке 1), а dx=0,01. Воспользуйтесь калькулятором Google (как это сделать, мы разбирались на прошлом занятии).
- Если не хотите связываться с дробями, возьмите х=1.
- Если хотите, выберете какой-то другой х или dx, только dx должен быть маленьким.
- Если хотите, подсчитайте dy для кривой на рисунке 2, когда х=4/3 или x=1.
Лирическое отступление. Как понимать бесконечные суммы
Зачем складывать бесконечное число слагаемых? И как их складывать, если слагаемые бесконечно маленькие, то есть неизвестные, и их бесконечно много, то есть неизвестно сколько?
Это хорошие вопросы. Именно из-за таких вопросов анализ в университете начинается с определения «предела». Я постараюсь ответить без математических формальностей, а вы постарайтесь понять.
Начнём с того, что «бесконечное» число не означает, что оно «неизвестное».
Мы прекрасно знаем, что такое бесконечность, и умеем обращаться с этим понятием. Например, мы с вами считаем длину параболы на отрезке между -2 и 2. То есть длина отрезка равна 4. Теперь представьте, что мы разбили этот отрезок на участки длиной 0,01. Сколько маленьких отрезков получилось? Их 400, и в сумме 400 слагаемых. Если dx станет 0,001, то отрезков станет 4000.
То есть мы точно знаем, сколько слагаемых будет для любого, самого маленького значения dx. Поэтому ничего неизвестного здесь нет: dx мы сами задаём и уменьшаем, и для любого значения dx мы точно знаем, сколько у нас слагаемых и чему равна сумма гипотенуз.
Теперь посмотрим, зачем нам уменьшать dx. Изначально мы в принципе понятия не имеем, как считать длину кривой. Люди это знали не всегда. Зато мы умеем считать гипотенузу прямоугольного треугольника. Отлично. Пририсуем к параболе треугольники и посчитаем сумму гипотенуз. Получится примерно длина параболы. Чем меньше треугольнички, тем ближе мы подберёмся к точному значению. Да. Но только какими бы маленькими треугольнички не были, это так и останется приближением!
А откуда мы знаем, что произойдёт «в пределе», когда dx будет всё меньше и меньше и превратится в точку? Ведь и треугольников уже не будет... Некоторые участники правильно заметили, что это нетривиальный вопрос. Поэтому нам и нужен анализ! Формальное доказательство практически невозможно понять без подготовки. Но я надеюсь, что до сути мы доберёмся за 2-3 задания.
Суть в том, что, когда мы уменьшаем dx, то мы видим, как наше приближение подбирается ближе и ближе к длине кривой. Что же будет «в пределе»? На самом деле, интеграл — это и есть запись такого предела. И мы можем доказать интуитивно понятный факт, что этот предел есть и что он даст нам правильный ответ.
Дело в том, что в анализе мы изучили разные свойства интегралов, и мы научились их считать абсолютно точно! То есть путь такой:
1. Сначала приближаем кривую с помощью гипотенуз.
2. Уменьшаем dx, получаем интеграл.
3. Ура, интегралы мы умеем считать!
Последнему «ура» я не смогу вас научить прямо сейчас, для этого нужно понять много разных определений и решить много задач. Когда мы закончим эту тему, дам одно задание, чтобы у вас появилось представление, как мы, математики, это делаем.
Задание №2. Знакомая и незнакомая производная
Итак, когда в математике нам удалось свести что-то к интегралу, то мы очень радуемся. Потому что из математического анализа мы очень много знаем об интегралах и умеем их считать совершенно точно.
Но пока наш интеграл нас не очень устраивает. Дело в том, что с помощью математического анализа мы умеем считать интегралы, которые записаны так, как на рисунке ниже. Видите разницу? Под знаком интеграла стоит f(x) — это какая-то формула, зависящая от х. И она умножается на dx. А наш интеграл на рисунке 1 не такой. Там ещё под корнем болтается dy.
Интеграл, каким его любят математики. Почему интегралы записываются именно так и как их считать, я объясню позже.
Как же избавиться от dy под корнем? Дорогие друзья, настало время познакомиться с понятием «производная».
Я не называю «производную» «великой и ужасной», потому что это понятие встречается и в обычной жизни. Вы можете сказать про молодого сотрудника: «Уровень у него пока так себе, но производная отличная!» Что это означает? Я думаю, понятно: человек быстро растет!
Как бы вы сформулировали, что означает производная в обычной жизни? Наверное, самое простое определение — это скорость изменения. Быстрые положительные изменения — значит, производная большая и положительная. Стагнация — это никакой производной, можно сказать, производная равна нулю. А ухудшение означает, что производная отрицательная.
В общем и целом, производная говорит не о том, где мы сейчас, а об изменении, точнее, о скорости изменения. Что же такое производная в математике? Как всегда — в точности то же самое, что и в жизни.
Обозначений у производной два. Если у нас есть какая-то функция у, которая зависит от х, то производную функции y обозначают:
- либо штрихом, то есть y’,
- либо как dy, делённое на dx, то есть dy/dx.
Посмотрите внимательно: уж не те ли это самые dx и dy под интегралом? Да, они самые! Поэтому нам сейчас и понадобилась производная. В следующем задании подставим её в интеграл на рисунке 1!
Посмотрим ещё раз на рисунок 1
Запись dy/dx очень естественная. Помните, что это скорость изменения функции? За «время» dx функция «проходит расстояние» dy. Чему равна скорость? Расстояние, делённое на время, то есть dy/dx.
Теперь давайте снова посмотрим на параболу. Понятно, что скорость изменения параболы везде разная. Если х отрицательный, то по параболе мы скатываемся вниз, к нулю. В нуле функция начинает расти, но очень медленно. А дальше растет всё быстрее и быстрее. Как же мы можем говорить о «скорости изменения»?
Мы можем это делать, когда dx и dy очень маленькие, то есть когда мы находимся в маленькой окрестности точки. Помните, в одном из заданий мы воспользовались Wolfram и нарисовали параболу от -2 до 2, а потом, в маленькой окрестности, от 1 до 1,01?
Парабола от -2 до 2
Помните, что в маленькой окрестности кривая стала похожа на прямую? То есть в маленькой окрестности точки мы можем говорить о постоянной «скорости изменения», в точности равной dy/dx. Это и есть производная в данной точке!
Участок параболы от 1 до 1.01
В общем и целом, вы уже готовы к вычислению производных. Главное — не впадать в ступор от формул, а помнить, что мы говорим о «скорости изменения», и пользоваться здравым смыслом.
ЛАЙФХАК. ЧТО ДЕЛАТЬ, ЕСЛИ ПРИБЛИЖАЕТСЯ СТУПОР.
Во-первых, знайте: вы не одиноки. Мои студенты впадают в ступор на каждом занятии. Во-вторых, следуйте этим простым инструкциям.
Что НЕ НУЖНО делать при приближении ступора: смотреть невидящим стеклянным взглядом на формулу и говорить себе что-то типа «как это сложно», «я вообще ничего не понимаю», «какой кошмар», «это не моё» и так далее.
Что НУЖНО делать: понять, что именно вызывает сложности, и сформулировать вопрос (именно вопрос, а не утверждение). Первым вопросом нередко оказывается: «С чего начать?» Очень часто, как только вы задали себе вопрос, вы сами же найдёте ответ. Но если не нашли, то задайте вопрос в комментариях, я постараюсь ответить.
«Ах, зачем я так ревела! — подумала Алиса, плавая кругами и пытаясь понять, в какой стороне берег. — Вот глупо будет, если я утону в собственных слезах!» (Л. Кэрролл, «Алиса в Стране чудес»)
Для разминки начнём с функции, которая вообще не меняется. Например, если наша функция у всегда равна 100, как температура кипения воды при атмосферном давлении — она всегда одинаковая, в какое время вы бы ни вскипятили чайник. Можете сами придумать такие функции, которые не меняются. На рисунке ниже я нарисовала в общем виде: y=с.
Функция, которая не меняется.
Чему равна производная такой функции? Функция не меняется, то есть ноль изменений. Производная равна нулю! А если посмотреть по формуле? Действительно, какую бы точку вы не взяли, изменения по оси y просто не будет. То есть dy всегда равно нулю. А тогда dy/dx=0. Всё правильно!
Что же с параболой? Скажу сразу, что если у=x^2, то производная равна 2x. Давайте разберёмся, что означает такая производная и откуда она берётся.
ЗАДАНИЕ. Убедитесь, что для параболы производная 2х имеет смысл, см. рисунок ниже. Какая производная в точке х=-1? Почему логично, что она отрицательная? Какая производная в точках х=1 и х=2? Какая из них больше, и почему это логично?
Y=2X?
Теперь давайте посмотрим, откуда взялось 2х.
В прошлом задании мы посчитали dy для разных x и dx. C этим заданием многие справились. Например, если х=1, а dx=0,01, то dy=1.01^2-1^2=0,0201.
Заметьте, что dy=0,0201, это примерно 2*dx, и х=1, то есть 2х=2. Как я и обещала, dy/dx очень близко к 2х!
Производную считают похожим способом. Мы сделаем это за три шага.
Шаг 1. Давайте посчитаем dy в общем виде: dy=(x+dx)^2-x^2. Для этого нам понадобится раскрыть скобки. Помните, как?
Давным-давно, в самом начале занятий в группе мы этому учились.
Шаг 2. Теперь разделите dy на dx. Вы почти у цели, но у вас остался неприкаянный dx.
Шаг 3. Вспомните, что мы говорим о бесконечно маленькой окрестности, то есть dx стремится к нулю и исчезает!
Упрощаем. Правила сокращения
Когда мы считаем производную, то нам нужно что-то сократить, упростить выражение. Участники группы хотели, как всегда, разобраться до конца, и задали вопрос: какие вообще правила сокращения?
Это абсолютно фундаментальный вопрос, на котором в большой степени строится абстрактное понятие числа. Пусть и не в строгой математической формулировке.
Удивительно, что правил всего два, и они знакомы вам очень хорошо! Вот эти правила.
- Если число вычесть из самого себя, то получится 0. Например, 5-5=0.
- Если число разделить на само себя, то получится 1. Например, 5/5=1.
Оба эти правила вам понадобятся при выполнении задания. На рисунке примеры. А последний пример — это не просто пример, а подсказка для задания.
Правила сокращения
Идём стабильно по прямой
Приведу пример, чтобы было понятно, как записывать решение в последнем задании.
Давайте возьмём прямую, как на этом рисунке. Известное со школы уравнение y=a*x+b. Постараемся найти производную от этой функции.
Сначала здравый смысл. Что будет со скоростью изменения функции? Прямая растёт равномерно, с постоянной скоростью. Значит, производная должна быть постоянной и равной это скорости.
Теперь давайте посмотрим, как это сделать по формуле dy/dx. В ответе получается dy/dx=a. Производная постоянная. И красота: чем больше а, тем круче прямая и тем больше скорость изменения функции. Всё правильно!
В ответе получается dy/dx = a.
Только формула прямой очень простая, у вас после деления на dx все dx сократятся. Когда вы будете считать производную для параболы, то dx останется. Тут надо учесть, что мы говорим о скорости в бесконечно маленькой окрестности точки, то есть dx стремится к нулю и исчезает.
На следующем занятии мы наконец-то «победим» длину параболы. А пока — выполняйте задания, спрашивайте в комментариях в группе, если что-то непонятно. И не давайте себе впадать в ступор!
