Представляем вам очередной урок от профессора прикладной математики Нелли Литвак, которая вместе с журналистом Аллой Кечеджан решила реабилитировать запуганных школьной математикой гуманитариев. Для этого Нелли и Алла организовали группу в Фейсбуке для всех желающих «Математика — великая и ужасная!».
На сайте Newtonew Нелли каждую неделю делится пройденным в группе материалом. Вот ссылки на предыдущие уроки, чтобы вы ничего не пропустили:
...Сегодня вам предстоит «победить» длину параболы и сделать то, что делает любой математик, получивший ответ.
Занятие 4. Победа над длиной параболы
Задание №1. Квадраты под корнем
Теперь будем вытаскивать числа и буквы из-под квадратного корня.
Почему нам это нужно? Потому что мы считаем длину параболы, см. рисунок 1. Мы разбили кривую на маленькие отрезки. Длину каждого отрезка мы посчитали по теореме Пифагора, а потом сделали эти отрезки бесконечно маленькими и получили интеграл (см. формулу внизу рисунка).
Рисунок 1.
Именно из-за теоремы Пифагора у нас под интегралом образовался квадратный корень — длина маленькой гипотенузы, которая идёт вдоль параболы.
В таком виде, как на рисунке 1, этот квадратный корень нас не устраивает, нам нужен интеграл классический, как в формуле на рисунке 2. Что для этого нужно? Избавиться от dy и вытащить dx из-под корня.
Рисунок 2.
Как это сделать? Мы воспользуемся одним очень естественным и интуитивным правилом. Напомню, что sqrt означает квадратный корень.
На рисунке 3 пример с числами. Если 36=4*9, то sqrt(36)=sqrt(4)*sqrt(9). Надеюсь, это понятно.
Рисунок 3.
Теперь посмотрите пример sqrt(27), тоже на рисунке 3. Ответа в целых числах не получается, но принцип тот же.
На рисунке 4 общая формула. Оговорюсь, что x, y, a, а также (b+c) — либо положительные, либо 0.
Рисунок 4.
1) sqrt(xy)=sqrt(x)sqrt(y) по тому же принципу, что и с числами.
2) Эта формула уже больше похожа на наш случай с интегралом. Здесь мы можем вынести а из-под корня. Для этого надо вспомнить раскрытие скобок. Напомню, что a^2 обозначает «а в квадрате»: a^2(b+c)=a^2b+a^2c.
Этого достаточно, чтобы выполнить задание, написанное на рисунке 5.
ЗАДАНИЕ:
Рисунок 5.
1) Сначала убедитесь на числах, что вынесение за скобки и вынесение из-под корня работает: sqrt(2^2+8*2^2)=2sqrt(1+8). Можете придумать свои примеры.
2) Затем возвращаемся к квадратному корню под интегралом: sqrt(dx^2+dy^2).
Вспомните производную из прошлого задания: dy/dx=2x. Подставьте dy=(2x)*dx и вынесите dx из-под корня!
Задание №2. Что делают математики после того, как получен ответ
Напомню, что мы считаем длину параболы. Для этого мы прицепили к ней маленькие треугольнички, у которых гипотенузы идут вдоль параболы, см. рисунок 1. Когда стороны треугольничков уменьшаются до нуля, то у нас «в пределе» получается в точности длина параболы.
Мы посчитали маленькие гипотенузы по теореме Пифагора и получили интеграл внизу рисунка 1 — это бесконечная сумма бесконечно маленьких гипотенуз. Потом мы разобрались, что dy=2x*dx, потому что 2x — это производная функции у=х^2 в точке х. Производная — это скорость изменения у в данной точке. Напомню, что запись х^2 обозначает «х в квадрате».
В предыдущем задании нам удалось избавится от dy и вытащить dx из-под корня! Решение на рисунке 6.
Рисунок 6.
В результате у нас получился интеграл, он написан внизу рисунка. Такой интеграл можно посчитать благодаря матанализу, который основали Ньютон и Лейбниц. Не важно, если вы не знаете, как его считать. Я объясню основную идею в следующем задании. Пока достаточно знать, что интеграл такого вида — это очень хорошо известный стандартный объект. Его может посчитать любой первокурсник мехмата.
Больше того, он настолько стандартный, что его может посчитать и компьютер! Настало время вернуться к нашему Wolfram Alpha. Помните, как мы рисовали параболу? См. рисунок 7. Команда: plot(x^2, -2..2)
Рисунок 7.
Напомню, что plot означает «нарисуй», x^2 — это функция, которую надо нарисовать. А -2..2 означает, что нас интересует х между -2 и 2.
Обратите внимание: все 3 части команды — «нарисуй», формула, откуда и до куда х, — нужно указывать! Иначе компьютер вас не поймёт.
Получилась знакомая картинка. Признаюсь, что до этого я вам показывала только её часть. Посмотрите, что написано под графиком? "Arc length of curve" означает… длина кривой! И смотрите, там написан в точности наш интеграл! И подсчитан ответ: 9,29357!
Что же получается? Мы уже давным-давно с помощью Wolfram могли узнать длину кривой? В принципе — да… Как Элли уже давно могла щелкнуть каблучками и вернуться домой, и в принципе незачем было топать по дороге из жёлтого кирпича в Изумрудный Город.
Но ведь тогда я бы не встретила новых друзей — Страшилу, Льва и Дровосека!
— воскликнула Элли.
Что с того, что компьютер может посчитать ответ? Зато теперь мы узнали, что такое интеграл и производная и причём здесь теорема Пифагора.
Мы понимаем, откуда берётся ответ и что он означает. Именно в этом понимании и заключается суть математики!
Кстати, помните наше самое первое приближение, с помощью четырёх отрезков, на рисунке 8? Ответ был: 9,15298244508. Между прочим, не такое уж плохое приближение, и мы очень хорошо понимаем, как оно получается и как его улучшить!
Рисунок 8.
Новое задание — это неотъемлемая часть решения любой математической задачи. Когда мы получили результат, мы должны его «протестировать» на нескольких примерах и убедиться, что наше решение работает и имеет смысл.
ЗАДАНИЕ. 1) Посмотрите опять на параболу y=x^2 между -2 и 2. Как изменится длина кривой, если расширить или сузить интервал, на котором изменяется х? Например, возьмём х между -2 и 3. Естественно, кривая станет длиннее, потому что мы добавили ещё один кусок. Можете ли вы объяснить это с помощью формулы? А что будет, если сузить интервал, например, взять х между -1 и 1? Видно ли это из формулы?
2) Что будет, если интервал для х той же длины, но мы возьмём другой участок параболы? Например, х будет не между -2 и 2, а между 0 и 4? Станет кривая короче и длиннее? Видно ли это из формулы?
3) Что изменится в формуле, если взять другую кривую? Например, нарисуйте кривую у=x^3-x^2-x, снова х между -2 и 2. Формула изменилась. Почему? Что именно изменилось?
4) Самая короткая «кривая» между -2 и 2 — это, конечно, горизонтальная прямая, см. рисунок 9. Потому что она не отклоняется от прямого пути ни по диагонали, ни по кривой. Длина такого прямого пути между -2 и 2 равна 4. Следует ли это из формулы? Можете воспользоваться подсказкой.
Рисунок 9.
ПОДСКАЗКА. Вспомните из предыдущего задания, что под корнем в формуле всегда (1+(y’)^2), потому что dy=y’*dx. Производная y’=dy/dx — это скорость изменения у. На рисунке 9 мы видим, что у совсем не меняется, то есть производная равна нулю. Теперь вам видно из формулы, что такая прямая короче любой другой линии?
Лирическое повторение пройденного. Алиса падает в колодец.
Один из участников группы, выполняя задание из предыдущего урока, заметил, что, глядя на график прямой, можно вспомнить про скорости и ускорение. Например, когда Алиса падает в колодец. Из школы мы помним, что ускорение постоянное и равно 9.8. Но в каких единицах оно измеряется, что означает, и как выглядит при этом график скорости и расстояния?
Попробую объяснить.
Ускорение — это скорость изменения скорости, то есть это производная от скорости. Она измеряется в м/сек^2. Почему?
Алиса падает в колодец и пролетает какое-то расстояние. Мы рисуем график, какое расстояние у пролетела Алиса за время х. Расстояние измеряется в метрах, а время — в секундах.
Производная от расстояния — это просто скорость, с которой в каждый момент х летит Алиса. Потому что скорость — это и есть «скорость изменения расстояния». Производная расстояния в любой точке равна dy/dx; dy — это маленькое расстояние, оно измеряется в метрах; dx — это маленькое время, оно измеряется в секундах. Именно поэтому скорость измеряется в м/сек.
Ускорение — это скорость изменения скорости. Когда Алиса падает, то скорость растёт. Мы можем нарисовать график скорости. Назовём скорость v, она тоже будет зависеть от времени x. В любой точке графика для скорости мы можем найти скорость изменения скорости (то есть скорость изменения v в момент х). Для этого нужно взять маленькое изменение по времени dx, посмотреть, насколько изменилась скорость, то есть dv, и поделить dv/dx. Это и будет ускорение — скорость изменения скорости. Поскольку dv измеряется в м/сек, а dx в секундах, то ускорение измеряется в м/сек/сек=м/сек^2.
Когда Алиса падает, то график v — это прямая линия. Именно потому, что, как вы знаете из школы, при падении ускорение постоянное, оно равно 9,8 м/сек^2. То есть скорость прирастает равномерно, а значит, график скорости — это наклонная прямая, которая уходит вверх. Уравнение этой прямой будет v=9,8x, потому что 9,8 — это скорость изменения скорости, и за время х скорость вырастет в 9,8 раз.
Что же будет с расстоянием? Помните, что скорость — это производная расстояния. В задании мы доказываем, что производная х^2 равна 2х. Наша скорость меняется как 9,8х. Если взять параболу у=(9,8/2)х^2, то у неё будет производная как раз 9,8х. То есть расстояние, которое Алиса пролетает за время х, растёт по параболе (9,8/2)х^2.
Получается, что скорость — это производная расстояния, а ускорение — это производная скорости.
В математике говорят, что ускорение — это «вторая производная» расстояния. Вторая производная — это производная производной.
Если брать производные дальше, то получится третья, четвёртая производная и так далее. В нашем случае вторая производная — это горизонтальная прямая. Ускорение не меняется, его производная равна нулю. То есть третья производная расстояния равна нулю. Это верно для любой параболы.
Вот вам и «абстрактная» парабола! Когда Алиса пролетает мимо банок с вареньем, мимо параллелей и меридианов, для неё парабола вполне конкретная!
И ещё: теперь вы видите, что нет смысла изучать скорость и ускорение, не зная, что такое производная?
Присоединяйтесь к группе и обсуждайте задания вместе с другими участниками! Чем дальше мы идём, тем всё кажется «curiouser and curiouser», — как говорила Алиса. Но на самом деле многое становится понятнее и понятнее.
