Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 5

На сайте Newtonew Нелли каждую неделю делится пройденным в группе материалом. Вот ссылки на предыдущие уроки, чтобы вы ничего не пропустили:

Урок 1. Доказываем теорему Пифагора. 

Урок 2. Вычисляем длину кривой. 

Урок 3. Постигаем, что такое интеграл и производная.

Урок 4. Побеждаем длину параболы. 

Всё, развлекательных картинок дальше не будет: сосредоточимся, тема серьёзная.

Я уже не раз писала формулу с интегралом и говорила, что интеграл — это бесконечное сумма бесконечного числа слагаемых. Что же всё-таки означает интеграл в его классической форме, как на рисунке 1? Сегодня мы поговорим как раз об этом и даже подсчитаем самый простой на свете интеграл.  

У классического интеграла есть классическая, очень красивая и совершенно наглядная интерпретация.  

Ещё по этой теме:

Математика по-сингапурски

На этом месте Вы можете возмутиться: «Как же так? Мы считали длину кривой, а тут площади какие-то! Вы нас совсем запутали!»

Я вас понимаю. И вообще в нормальном курсе матанализа всё делают наоборот: сначала проходят производную, потом интеграл, и уж потом длину кривой. Но у нас нет цели пройти матанализ в «правильном» порядке.

Вспомните, что длину кривой мы свели к интегралу. И очень обрадовались, потому что Wolfram умеет его считать. Но как посчитать или нарисовать интеграл? В этом мы пока не разобрались. Пока он для нас как «чёрный ящик». Мы только знаем, что это бесконечная сумма бесконечного числа слагаемых.

И вот теперь новое сведение: интеграл это ни что иное, как площадь под графиком. Давайте разберёмся, почему. 

Посмотрите на формулу под интегралом. Там написано: f(x)*dx. На рисунке 3 я отметила точку х, f(x) и dx. Что же такое f(x)*dx? Не узнаёте? Это же площадь маленького прямоугольничка!  

На рисунке 4 я разбила площадь под графиком на прямоугольнички. Наверное, это самый классический рисунок во всём матанализе. Сумма площадей прямоугольничков очень знаменита и называется суммой Римана. Конечно, все прямоугольнички вместе не совпадают с площадью под графиком. Но вы уже догадались, что будет дальше: если dx станет бесконечно маленьким, то прямоугольнички будут всё более узкими, сольются вместе и образуют интеграл.

Ну вот. Сегодня мы вычислим интеграл сами, воспользовавшись только этой информацией: интеграл — это площадь под графиком. Конечно, если f(x) — кривая, то эта информация нам не поможет (что делать в таких случаях, разберёмся в следующем задании). Но если f(x) прямая, то задача нам вполне по силам!

ЗАДАНИЕ. Цель задания — посчитать с помощью интеграла длину участка прямой y=2x между -1 и 2, см. рисунок 5.

Начнём с того, что длину этого участка прямой можно посчитать и по теореме Пифагора. Подсчитайте и получите ответ. Теперь давайте получим тот же ответ с помощью интеграла.

Пишу по шагам, как это сделать.

Шаг 1. Формула длины графика написана на рисунке 5. Напишите для себя эту формулу. На следующих шагах в неё нужно будет подставить производную и подсчитать интеграл.

Шаг 2. Подставим производную. Чему равна производная? Я уже писала про производную для прямой, но давайте повторим. 

Производная — это скорость изменения функции. В нашем случае за «время» x функция проходит «расстояние» y=2x. Скорость для любого х получается (2x)/x=2. Здравый смысл говорит, что скорость изменения y по прямой постоянная и в данном случае равна 2. По формуле для производной y’=dy/dx тоже получается так же. Я нарисовала маленький треугольничек, dx и dy. Очевидно, что в любой точке прямой dy/dx=2. Подставьте число 2 вместо y’ в формулу на рисунке 5. Что у вас получилось? Должен получиться корень из 5.

Шаг 3. Итак, у нас есть интеграл, см. рисунок 6. Как его посчитать? Это площадь под графиком. Но наша функция — это константа, поэтому фигура под графиком — это просто прямоугольник! Для простоты я нарисовала график на рисунке 6. Подсчитайте площадь прямоугольника. Должен получиться такой же ответ, что и по теореме Пифагора.  

Здесь вы найдёте обсуждения этого задания и можете задать свои вопросы.

Понять, при чём здесь площадь фигуры под графиком, когда мы считаем длину кривой, не так-то просто. Алла Кечеджан отметила, что одна из основных причин, почему люди ставят крест на своих математических способностях: «расхождение между тем, на что ты смотришь на графике, и тем, о чём ты думаешь». Преодолеть это расхождение для себя Алла смогла с помощью спичек и поделилась своим интуитивным способом с другими участниками группы.

Тогда в группе возник другой вопрос. Мы говорим, что длина гипотенузы равна площади прямоугольника. Но длина измеряется в сантиметрах, миллиметрах и прочих метрах, а площадь — в квадратных сантиметрах, квадратных метрах и так далее. Как с этим быть?

Дело вот в чём. Здесь все величины измеряются единицами на оси, и эти единицы безразмерные (то есть не метры, не сантиметры, а просто безразмерные единицы). То есть мы сравниваем исключительно числа, а не их размерность. 

Другое объяснение: можно считать, что длина гипотенузы равна площади прямоугольника исключительно в цифровом выражении величины, а размерности при этом могут быть любые и у того и у другого. В принципе длина может быть равна площади в цифровом выражении. Есть сотка (сто квадратных метров) и стометровка (сто метров в длину). Обе сто, хоть и получились по-разному. Здесь именно это имеется в виду. Мы выяснили, что длина десяти стометровок в цифровом выражении равна площади десяти соток.

Я много раз писала, что интегралы человечество считать умеет. Для этого есть формула, которая называется «формула Ньютона-Лейбница». Наверное, это самая знаменитая формула во всём матанализе. Я попытаюсь объяснить в общих чертах, откуда она берётся, и мы попробуем её применить на простом примере. 

Многие уже разобрались, что интеграл — это площадь под графиком, см. рисунок 7.

Теперь представьте себе, что мы потихоньку двигаемся по оси х, а в руках у нас волшебная кисточка, которая, по мере нашего продвижения, мгновенно закрашивает пространство под графиком, которое мы проходим. На рисунке 8 мы начали двигаться от точки а и добрались до точки х.

Это может быть интересно:

Учителям математики нужен новый подход

Спрашивается, с какой скоростью изменяется площадь закрашенной поверхности? Допустим, мы находимся в районе точки х и продвинулись на маленькое «время» dx. За это «время» наша кисточка закрасит поверхность, которая будет по площади очень близка к площади узенького прямоугольничка под графиком, как на рисунке 8. Чем меньше dx, тем точнее площадь прямоугольничка совпадает с площадью под графиком.

Площадь этого прямоугольничка равна f(x)dx. Значит, за «время» dx мы закрасили поверхность f(x)dx. То есть в точке х скорость закраски равна f(x)dx/dx=f(x). Интуитивно это понятно. Если f(x) большая, то при увеличении х площадь закрашенной поверхности тоже растёт быстро!

Но погодите. Ведь площадь под графиком — это интеграл. А скорость изменения функции — это производная. 

Именно это гениальное озарение и лежит в основе формулы Ньютона-Лейбница. Я написала эту формулу на рисунке 9. Интеграл от a до b функции f(x) равен всего-навсего F(b)-F(a).

Функция F называется длинным словом «первообразная». Это такая функция, производная от которой равна f. В формуле Ньютона-Лейбница F(b) получается именно из тех соображений, что я объяснила выше: потому что производная от интеграла в точке b равна f(b).

F(a) нужно вычесть, грубо говоря, для того, чтобы интеграл от а до а равнялся нулю. И правда, посмотрите на рисунок 9. Если интеграл от а до а, то у нас и площади никакой не будет. Будет отрезок, а его площадь равна нулю! И по формуле получится F(a)-F(a)=0. Всё верно!  

ЗАДАНИЕ. Мы уже знаем, что производная от x^2 равна 2x, см. рисунок 10.

Теперь давайте попробуем подсчитать график под прямой у=2х от 0 до 3 с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Для этого нужно заметить, что первообразная от 2х равна x^2.  

Получили ответ? Заметьте, его можно было получить и по-другому. Площадь под графиком — это просто площадь треугольника. Посчитайте эту площадь и сравните ответ.

Оказывается, площадь треугольника можно было получить не только как половину прямоугольника (как мы делали раньше), но и методом покруче, с помощью интеграла и формулы Ньютона-Лейбница!  

Комментарии к заданию и обсуждения смотрите здесь.

Не бойтесь задавать вопросы, если вам что-то непонятно, не бойтесь ошибаться — почему это важно, я объясняла в самом начале занятий.

Возможно, этот комментарий от Аллы Кечеджан прояснит ситуацию тем, кому не всё понятно с нашим заданием. Алла делится ходом своего когнитивного процесса:

«Несмотря на гениальную простоту формулы Ньютона-Лейбница, мне она сразу в руки не далась.

Почему мы вычитаем из первообразной в точке F(b) первообразную в точке F(а)? Чтобы узнать площадь под графиком, т.е. интеграл, нужно выйти за пределы интегрирования. Вычитанием мы отсекаем площади, стоящие от бесконечности до точки F(b) с одной стороны и от бесконечности до точки F(а), с другой. Разность и есть площадь под графиком функции, то есть искомый интеграл».  

Когда я первый раз упомянула интеграл, то некоторые эксперты в группе начали рассуждать про интегралы «определённые» и «неопределённые». Что это такое? См. рисунок 11.

Определённый интеграл — это то, что мы проходили. Это интеграл от a до b, который равен площади под графиком и вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Неопределённый интеграл функции f(х) записывается без a и b сверху и снизу. На самом деле это просто первообразная: функция F(х), производная которой равна f(х).

Тут нужно заметить, что такая функция F(х) не одна. К F(х) можно прибавить любую константу C (например, 2, 3, 100, 1/2 или -1). Производная функции F(х)+С тоже будет равна f(x), потому что производная — это скорость изменения, а скорость изменения постоянной величины равна нулю (см. рисунок). Неопределённый интеграл — это первообразная в «общем виде», поэтому его записывают как F(x)+C.

Как видите, никакого непостижимого ужаса в математике нет! На следующем уроке мы с вами будем ловить Чеширского кота и заглянем в многомерные пространства.