Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 6
12+
  вернуться Время чтения: 8 минут   |   Комментариев нет
Сохранить

Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 6

Бежим за Чеширским котом и попадаем в многомерные пространства.

Представляем вам очередной урок от профессора прикладной математики Нелли Литвак, которая вместе с журналистом Аллой Кечеджан решила реабилитировать запуганных школьной математикой гуманитариев. Для этого Нелли и Алла организовали группу в Фейсбуке для всех желающих «Математика — великая и ужасная!»

На сайте Newtonew Нелли каждую неделю делится пройденным в группе материалом. Вот ссылки на предыдущие уроки, чтобы вы ничего не пропустили:

Урок 1. Доказываем теорему Пифагора. 

Урок 2. Вычисляем длину кривой. 

Урок 3. Постигаем, что такое интеграл и производная.

Урок 4. Побеждаем длину параболы.

Урок 5. Знакомимся с формулой Ньютона-Лейбница.

Теперь вам ничего не страшно! 

Image

«Тренируйся лучше на кошках!» — сказал однажды персонаж известного советского фильма. Что ж, мы так и сделаем.

commons.wikimedia.org

Занятие 6. Теорема Пифагора выходит за пределы двухмерного пространства

Задание №1. Про Чеширского кота 

Ура, с интегралами закончили! Убедились, что теорема Пифагора позволяет вычислить расстояние не только по прямой, но и по кривой.

А что если мы находимся не на плоскости, а в трёхмерном пространстве? Ведь наш мир не плоский, а трёхмерный!

Расстояние по прямой в трёхмерном пространстве опять можно посчитать по теореме Пифагора. Попробуем это сделать.

ЗАДАНИЕ. Чеширский Кот удирает от Герцогини (Г). Он уже пробежал 5 метров на юг. Но на его пути неожиданно возникла Королева (К) и вот-вот закричит: «Отрубить ему голову!» Хитрый Кот увернулся и помчался на запад, 10 метров до ближайшего дерева. По дереву Кот забрался на 4 метра вверх.

ВОПРОС: Каково расстояние (в метрах) по прямой от Герцогини до Кота? (Поскольку это Чеширский Кот, то он, конечно, уже исчез, на рисунке осталась одна улыбка). 

САМОЕ ГЛАВНОЕ: Только лишь ответа недостаточно. Объясните обязательно, как считали!

Image

Рисунок 1. Чеширский кот убегает на дерево

  Лирическое отступление, посвящённое Чеширскому коту  

Задача про Чеширского кота собрала много комментариев. Я решила некоторые из них процитировать, ведь, как сказал автор книги «Плач Математика» Пол Локхард, математика — это наука объяснения.

Image

Алексей Лютов

прилежный ученик

Нужно увидеть два треугольника: 1 — «лежачий» ГКД (Герцогиня — Королева — Дерево), и 2 — «стоячий» ГДЧ (Герцогиня — Дерево — Чеширский кот). Если Вам это удалось, тогда видно, что катет ГД — есть гипотенуза первого лежащего треугольника ГКД. Зная длину двух катетов ДЧ и ГД, по теореме Пифагора находим длину гипотенузы ГЧ. Проблема только в длине катета-гипотенузы ГД. ГД = корень из суммы квадратов 5 и 10=25+100=А (чему бы он не равнялся помним, что 11^2=121, значит, ГД равен 11 м и трошки см). Теперь ГЧ. Это корень из (16+ГД^2) = КОРЕНЬ(16+(5^2+10^2)) = 11,87434209.

Image

Алла Кечеджан

прилежный ученик

Между деревом и землёй угол, очевидно, прямой. Один его катет — расстояние от основания дерева до Кота — 4 метра, второй — от основания дерева до Королевы — 10 метров. Значит, по теореме Пифагора длина гипотенузы — расстояние от Кота до спугнувшей его Королевы. Считаем: sqrt(4^2+10^2)=sqrt116. Теперь нам известны два катета в ещё одном прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это и есть расстояние между Герцогиней и Котом по прямой. Один его катет — это первый марш-бросок Кота от своей хозяйки на Юг 5 метров, второй — расстояние между Королевой и Котом, который мы только что вычислили: sqrt(116+5^2)=11, 87 

Почему так важно знать направление движение кота — сначала на Юг, потом на Запад? Чтобы не потерять в пространстве прямой угол! 

Кстати, некоторые переводчики Кэрролла были убеждены, что речь идёт о Чеширской кошке. На английском ведь и кот, и кошка — просто "cat".  

Image

Анна Шаповалова

прилежный ученик

По горизонтальной плоскости траектория бега кота — это катеты прямоугольного треугольника. По прямой от Г к основанию дерева — это гипотенуза, которая по теореме незабвенного Пифагора: корень квадратный из 5^2+10^2=125. Корень квадратный из 125 равен 11.2. По вертикали (дерево) кот влетел на 4 м. И это вертикальное расстояние вместе с найденной длиной гипотенузы снова напоминает катеты прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого и является искомым расстоянием. 4^2+11.2^2=16+125=141. Корень квадратный из 141 равен 11.9. Ответ: 11.9 м.

Находим закономерность

На рисунке 2 задание в более схематичном виде. Расстояния обозначены на юг, запад и вверх буквами a, b, c. А точки по-прежнему Г (Герцогиня), К (Королева), Д (подножье дерева) и Ч (Чеширский Кот).  

Image

Рисунок 2

Главное тут было увидеть два прямоугольных треугольника. Это можно было сделать двумя разными способами, на рисунке один из них. Ответ: sqrt(a^2+b^2+c^2).

  Самое замечательное — это явная закономерность!  

Если пройти по плоскости а метров на юг и b на запад, то расстояние по прямой будет sqrt(a^2+b^2) по теореме Пифагора, см. рисунок 3. Оказывается, если добавить третью координату и пройти с метров вверх, то формула очень похожая, только прибавилось третье измерение, и расстояние стало sqrt(a^2+b^2+c^2).

Image

Рисунок 3

Некоторые участники не стали считать по теореме Пифагора, а посмотрели в Интернете. Если пойти по ссылке, то вы увидите, что так измеряется расстояние в так называемом «Эвклидовом» пространстве. 

Эвклидово пространство — это то самое обычное пространство, которое мы видим вокруг себя. Под расстоянием в этом пространстве мы понимаем «результат измерения линейкой». И вычисляется это расстояние по теореме Пифагора.

В математике понятие расстояния гораздо более широкое. Потому что мы хотим мерить расстояния между всем подряд. 

Не только между точками, но и между графиками, словами, случайными величинами, между продуктами веб-магазинов и клиентами, которые их покупают. Об этом — наше следующее задание!  

Задание №2. Настоящие многомерные пространства

Последнее задание из длинной серии про теорему Пифагора. Под конец заглянем в многомерные пространства. Многомерные пространства поражают воображение хотя бы потому, что их практически невозможно вообразить! Наш мозг не умеет рисовать четырёхмерные картинки, а уж о десятимерных или стомерных и говорить нечего.

Но зачем они тогда вообще нужны? Оказывается, многомерные пространства вполне реальны! Для начала представьте, что мы хотим записать функцию, как на рисунке 4. Коэффициенты a, b, c, d могут быть любыми числами, то есть у нас есть четыре «степени свободы». Получается, что такие функции, как на рисунке 4, «живут» в четырёхмерном пространстве.

Image

Рисунок 4

Многомерные пространства получаются, когда мы описываем объект с помощью нескольких параметров. Например: возраст, рост, вес, температура тела... ой, мы уже в четырёхмерном пространстве!

Современный онлайн-мир просто кишит пространствами пугающих размерностей.

Возьмём, например, онлайн-магазины. Допустим, мы продаём книги. Тогда параметрами могут быть жанр, рейтинг автора, рейтинг издательства, количество страниц, год выпуска, предыдущие продажи, оценки читателей и так далее. Все эти параметры обозначаются числами и каким-то адекватным образом переводятся в одну шкалу, чтобы их можно было сравнивать.

А у пользователей параметров ещё больше: количество заходов на каждый сайт, оценка каждого товара, каждый поисковый запрос... это миллионы параметров. Неслучайно одна из основных вычислительных задач в онлайн-системах рекомендаций — это уменьшение размерности.  

Физическое трёхмерное пространство у нас одно. А многомерных — сколько угодно!  

Естественно, в многомерных пространствах нам тоже нужно что-то вроде «расстояния». Насколько два объекта близки друг к другу? Именно об этом задание.  

ЗАДАНИЕ. Онлайн-магазин продаёт товары. Для простоты допустим, что у товара 10 параметров.

На рисунке 5 по горизонтальной оси — номер параметра. По вертикальной оси — значение параметра для товара. У нас 2 товара: Х (синие кружочки) и У (красные крестики). Значение параметров 1,2,...,10 для товара Х мы обозначаем х1, х2, ... х10, а для товара У, соответственно, у1, у2, ... у10.

Мы хотим предлагать покупателям товары, которые «похожи» на те, которые они уже купили. Как это сделать?

ВОПРОС: Предложите, как считать «расстояние» между двумя товарами. Нужно, чтобы расстояние между «очень разными» товарами было большое, а между «похожими» товарами — маленькое.  

Image

Рисунок 5

Заметьте, кстати, что задача совершенно реальная, это делают тысячи онлайн магазинов каждый день.

На этот раз... Внимание... у нас в принципе не будет правильного ответа!  

Потому что это по трёхмерному пространству можно бегать с линейкой и всё измерять. А в многомерном — полная свобода! Предложите вариант, который вам кажется разумным. И, главное, объясните — почему.  

Обсуждение этого задания вы найдёте по этой ссылке.

Следующий урок будет последним перед небольшими каникулами до сентября. Мы продолжим гулять в многомерных пространствах. Если вам не терпится узнать, что же там происходит — заглядывайте в группу!

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

статьи по теме

Center for Game Science учит математике с помощью увлекательных игр

Игры и будущее математического класса: разговор с Китом Девлином

Математика — праздник для всех