Вот уже почти три месяца в Фейсбуке существует группа с эмоциональным названием «Математика — великая и ужасная!». Здесь этой непростой науке учат взрослых гуманитариев.
Группу ведут профессор математики Нелли Литвак и журналист Алла Кечеджан. Нелли, как положено профессору, даёт задания и разбирает решения, помогая добраться до сути. А Алла, как и положено журналисту, задаёт вопросы и придумывает свои примеры, чтобы общение в группе развивалось и приближало всех к пониманию Великой и Ужасной Математики.
На сайте Newtonew Нелли каждую неделю делится пройденным в группе материалом. Вот ссылки на предыдущие уроки, чтобы вы ничего не пропустили:
Урок 1. Доказываем теорему Пифагора.
Урок 2. Вычисляем длину кривой.
Урок 3. Постигаем, что такое интеграл и производная.
Урок 4. Побеждаем длину параболы.
Урок 5. Знакомимся с формулой Ньютона-Лейбница.
Урок 6. Бежим за Чеширским котом и попадаем в многомерные пространства.
Сегодня вам станет понятно, что такое математическая абстракция и зачем бизнесу нужны выпускники мехмата.
Занятие 7.
Задание №1. На этот раз — единственное
Итак, все разобрались с расстоянием в трёхмерном пространстве, см. рисунок 1. И, надеюсь, я вас убедила, что расстояния в многомерном пространстве тоже имеют смысл.
Рисунок 1
Например, представим, что два товара (или продукта) описываются с помощью десяти параметров (или свойств), которые каким-то образом выражены в числах, как было в задании на предыдущем уроке.
На уже знакомом рисунке 2 — свойства (параметры) товаров Х и У. Числа x1, x2,…x10 — это свойства товара Х, а числа у1, у2,…у10 — это свойства товара У. В предыдущем задании я вас попросила придумать, как измерять «расстояние» между двумя товарами. То есть нам нужна какая-то метрика, которая была бы маленькой, если товары похожи или «близки» друг у другу, и большой — если товары очень разные или «далеки» друг от друга.
Рисунок 2
Это абсолютно актуальная задача, которую решают тысячи компаний каждый день! И это абсолютно нормальная постановка математической задачи.
Нас, математиков, никогда не спрашивают, сколько будет 2+2. Нас спрашивают, как посчитать что-то такое, что никто не знает, как считать!
Как математики подходят к задачам, где надо «посчитать то, не знаю, что»? Обычно мы пользуемся двумя вещами: абстракцией и здравым смыслом. Исходя из здравого смысла, мы должны понять, что же такое «расстояние». Если подумать, то свойств у расстояния не так уж много:
- Расстояние не бывает отрицательным.
- Расстояние от объекта до самого себя равно нулю, а до любого другого объекта расстояние больше нуля.
- Расстояние от А до В равно расстоянию обратно, от В до А.
- Путь по прямой от А до В не может быть длиннее, чем через любую точку С. Это так называемое «правило треугольника», см. рисунок 3.
Рисунок 3
Это всё, что мы можем сказать о расстоянии. Естественно, наше нормальное расстояние в трёхмерном пространстве, которое мы меряем по линейке и вычисляем по теореме Пифагора (рис. 1), соответствует всем этим пунктам. Собственно, это привычное пространство и послужило источником вдохновения для описания всех этих свойств.
А теперь для нас расстояние — это абстрактное понятие, у которого есть 4 свойства. В остальном — полная свобода воображения!
И мы начинаем подозревать, что такими свойствами могут обладать не одно, а много определений «расстояния».
Чтобы записывать разные расстояния, нам понадобится понятие «модуль» — это расстояние от числа до нуля, оно всегда положительное.
Записывается модуль с помощью двух палочек: |x| — это модуль числа х. Нам модуль понадобится, чтобы посчитать разницу между числами. Например, разница между 2 и 5 равна 3. Записывается это так:
|5-2|=|2-5|=3
Насколько строгие наши понятия о расстоянии? Насколько большую свободу они дают? Чтобы понять, что можно, а что нельзя, давайте сначала посмотрим на «неудачные» расстояния. Для простоты я взяла товары, у которых только три свойства. См. рисунок 4.
Рисунок 4
При попытке 1 мы попытались сделать что-то похожее на теорему Пифагора. Но это неудачно, потому что для каждого товара мы складываем все его параметры в квадрате, а не сравниваем товары по каждому параметру. В результате у нас может получиться два разных продукта на расстоянии ноль, как будто это один и тот же продукт!
Попытка 2 тоже неудачная. Мы сравниваем товары только по третьему параметру, а остальное игнорируем. В результате опять расстояние между разными продуктами может получиться ноль.
Ха-ха, оказывается, выбор довольно ограниченный!
В математике очень распространено измерение расстояния с помощью так называемой «метрики Lp», см. рисунок 5. Разница между каждым параметром берётся по модулю, возводится в степень p, всё это складывается, и из суммы извлекается корень р. Очень естественная метрика L1 — это просто сумма разниц между координатами.
Рисунок 5
Ещё одна интересная метрика — L-бесконечность, внизу на рисунке 5. Когда р становится очень большим, то самая большая из всех разниц, возведённая в огромную степень, будет доминировать над всеми остальными слагаемыми. В пределе, если р растёт до бесконечности, у нас получится вот такая метрика: возьмите разницу по всем свойствам и выберите самую большую из них. Это и будет расстояние между двумя товарами.
И всё-таки самая знаменитая и самая любимая во многих приложениях — это метрика L2. Посмотрите на рисунок. Это же в точности теорема Пифагора!
ЗАДАНИЕ. 1. Посчитайте расстояния L1, L-бесконечность и L2 для товаров с тремя свойствами на рисунке 4.
2. Представьте два товара в виде двух точек трёхмерного пространства и убедитесь, что метрика L2 совпадает с обычным расстоянием, которое мы считаем по теореме Пифагора.
3. Убедитесь, что L1, L-бесконечность дадут другой ответ. Это не то расстояние, которое вы измерите линейкой. Тем не менее, это тоже разумное и возможное определение расстояния!
Комментарии к заданию и обсуждения решений здесь.
Лирическое отступление. Метрики и Google
Где ещё, кроме онлайн-магазинов, нам нужны расстояния в многомерном пространстве, типа L1, L2, L-бесконечность?
Эти метрики появились задолго до Интернета. Многомерные пространства возникают, если нам нужно решить большое количество уравнений с большим количеством неизвестных.
Эти уравнения могут описывать любую реальную систему: технологический процесс, экономическую систему или систему коммуникации.
Очень часто решить эти уравнения и записать ответ с помощью формул просто невозможно. Тогда их решают с помощью последовательных приближений. При каждом приближении получается ответ — значения всех переменных. Вопрос: останавливаться на этом ответе или считать следующее приближение?
Чтобы ответить на этот вопрос, обычно меряют расстояние между полученным ответом и предыдущим. (Для этого часто пользуются метрикой L1). Если расстояние маленькое, значит, дальнейшие приближения ответ сильно не изменят, и можно остановиться.
Именно так решается система, описывающая «затраты-выпуск» в экономике, за которую в 1973 году Василий Леонтьев получил Нобелевскую Премию.
И именно таким способом создатели Google впервые посчитали знаменитый PageRank. Для каждой веб-страницы они нашли число (PageRank страницы), которое характеризует, насколько «важная» эта страница. PageRank был одним из решающих факторов в колоссальном успехе Google.
Лирическое отступление. Как переводить свойства товаров в числа
Это всегда можно сделать. Например, цвет в принципе можно выразить с помощью трёх параметров: интенсивность красного, зеленого и синего. Это знаменитая шкала RGB. А можно разбить цвета чисто визуально на категории (красный, чёрный, синий и т.д.)
А вот как выбрать параметры и перевести их в одну шкалу? Это совсем нетривиально и зависит от важности каждого параметра. Тут одной математикой не обойтись, нужно профессиональное мнение продавцов и маркетологов.
Подобные вопросы возникают во всех приложениях, например, в логистике. Что оптимизировать: товарооборот, своевременность доставки, расписание персонала? И если всё вместе — то в каких соотношениях?
Чтобы по-настоящему решать такие задачи реального мира, математики должны работать с практиками, профессионалами в конкретной сфере. Найти всем общий язык не всегда легко, но по-другому эти проблемы не решить. В книге «Кому нужна математика» мы рассказываем об этом на примере составления расписаний железных дорог Нидерландов (глава 2).
Кстати, именно из-за обилия математических задач в любом бизнесе компании с удовольствием берут на работу выпускников-математиков.
Лирическое подведение итогов.
Посмотрите, какой путь мы прошли! Мы начали с доказательства теоремы Пифагора, узнали про производную, интеграл и многомерные пространства. Обнаружили, что поисковую строчку Google можно использовать как калькулятор, а графики можно строить прямо онлайн с помощью Wolfram Alpha.
Мне очень нравится история, которая у нас сложилась. Это одна из многих бесконечно глубоких и красивых историй о настоящей живой математике.
Пифагор научил нас считать расстояния по прямой на плоскости. Это то самое расстояние, которое можно померить линейкой.
Казалось бы, вот и всё: расстояние на плоскости по прямой — это очень простая вещь. Что ещё тут можно придумать?
Но когда люди в 17-м веке изобрели математический анализ, интегралы и производные, то с помощью теоремы Пифагора они научились считать длину пути по кривой.
А когда понадобились расстояния в многомерных пространствах, где линейкой вообще ничего не измеришь, люди придумали абстрактное понятие «расстояния», которое называется метрикой. И по-прежнему наша любимая метрика — это многомерное обобщение теоремы Пифагора. И мы можем её использовать, чтобы посчитать, насколько похожи товары в онлайн-магазинах!
Пифагор сделал человечеству отличный подарок.
Пифагор жил задолго до матанализа и онлайн-магазинов. Он чертил фигуры на плоскости. И в результате научил нас понимать и измерять любые расстояния. С чем может сравниться такое великое наследие?
Эту фразу я слышала в одном из TED-talk, и она нам сейчас необычайно подходит: «Если Вы хотите, чтобы Ваш подарок был вечен, не дарите бриллианты. Подарите Теорему!»
