Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 2
12+
  вернуться Время чтения: 10 минут   |   Комментариев нет
Сохранить

Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 2

Продолжаем изучать математику с Нелли Литвак. На этот раз будем вычислять длину кривой.

В группе в Фейсбуке с эмоциональным названием «Математика — великая и ужасная!» этой непростой науке учат взрослых гуманитариев.

Здесь можно задавать вопросы «А зачем это вообще знать?» и «Почему это нужно доказывать?». Можно и нужно делать ошибки. Но нельзя сомневаться в своих способностях к математике и категорически нельзя кого-либо критиковать (кажется, для гуманитариев это должно быть непросто).

Группу ведут профессор математики Нелли Литвак и журналист Алла Кечеджан. Нелли, как положено профессору, даёт задания и разбирает решения, помогая добраться до сути. А Алла, как и положено журналисту, задаёт вопросы и придумывает свои примеры, чтобы общение в группе развивалось и приближало всех к пониманию Великой и Ужасной Математики.

Newtonew поддерживает инициативу по реабилитации тех, кого в школе запугали математикой.

У нас на сайте Нелли делится пройденным в группе материалом. На прошлом занятии читатели Newtonew доказывали теорему Пифагора. Теперь Нелли предлагает перейти от треугольников к кривым...

Постигайте математику в любой приятной для вас обстановке. Фото Аллы Кечеджан
(источник: «Математика — великая и ужасная!»)

Занятие 2. Длина кривой

Задание №1. Кривые и прямые

Польза от теоремы Пифагора не ограничивается треугольниками. Оказывается, с её помощью можно вычислять длину... КРИВЫХ линий! Вообще-то для этого нужно понятие, которые называется великим и ужасным словом «интеграл». Не обещаю, что вы станете чемпионами мира по интегралам, но суть поймёте точно.

Вот так, из начальной школы сразу на первый курс ВМК, вооружившись одной лишь теоремой Пифагора!

Ну, если совсем честно, график функции нам тоже понадобится...

Итак, мы собираемся использовать теорему Пифагора для вычисления длины кривых линий. Но как? Ведь теорема Пифагора о прямоугольных треугольниках?

Да, конечно. Поэтому с наскока такую задачу не решишь. Но если подойти к ней с умом, то она нам вполне под силу, и на наших глазах из теоремы Пифагора возникнет тот самый метод, с помощью которого математики вычисляют длину кривой.

ЗАДАНИЕ. Посмотрите на рисунок. Синей линией нарисована знаменитая парабола: y равно x в квадрате. Наша задача посчитать длину этой параболы между -2 и 2, как на рисунке. Обращаться с кривыми мы не умеем, а умеем с треугольниками. Поэтому, как вы видите, на рисунке не только парабола. Красными линиями я «прицепила» к этой параболе 4 треугольничка. И эти треугольнички прямоугольные! То есть мы можем посчитать длину гипотенузы, которая идёт вдоль параболы.

Ваша задача: подсчитайте длину всей сплошной красной линии, которая идет «вдоль» параболы, между -2 и 2. Напишите, как вы это сделали. Это ещё не длина параболы, но пусть это будет наше первое приближение!

 

ЛАЙФХАК. В ответе появятся квадратные корни. Они мало о чём говорят, и нам нужно вычислить их с точностью до 2-3 знаков после запятой. Поможет нам в этом Google. Вы знаете, что поисковой строкой Google можно пользоваться как калькулятором? Просто введите пример в поисковой строке и нажмите Enter.
• sqrt означает квадратный корень. Например sqrt(16) даст ответ 4.
• Значок ^ означает возведение в степень. Например, 3^2 даст ответ 9. На рисунке пример, как я посчитала квадратный корень из 2 в квадрате плюс 3 в квадрате. Удачи!

 

РЕШЕНИЕ: Участники группы справились без особого труда: просто посчитали гипотенузы с помощью теоремы Пифагора и сложили. Все догадались, что достаточно посчитать только две гипотенузы с одной стороны и умножить на два, потому что парабола симметричная.

Подсчёт длины красной линии прямо в поисковой строке Google выглядит так: 2*(sqrt(1+9)+sqrt(1+1))=2*(sqrt(10)+sqrt(2))

Правильный ответ: 9,15298244508 или любое округление.

Лирическое отступление. Ошибка округления.

Хочу написать отдельно об ошибке округления в предыдущем задании. См. решение выше и в этом посте

Правильный ответ: 9,15298244508. Интересно, что у кого-то получилось 9,2, а у кого-то 9,14, что при округлении даёт 9,1.

Где-то ошибка? Не совсем. Подсчёты были правильные в обоих случаях, а разница в ответах возникла из-за округления. Давайте разберёмся в этом подробнее.

Нам нужен sqrt(10)=3,16227766017. Если сразу округлить до одного знака после запятой, то получится 3.2. Ещё нам нужен sqrt(2) = 1,41421356237, это приблизительно 1,4. Теперь нам нужно их сложить и умножить на два: 2*(sqrt(10)+sqrt(2)), приблизительно 2*(3.2+1.4)=9,2.

Ответ-округление получился правильный, но чисто случайно. Только потому, что «недооценка» sqrt(2) немножко компенсировала «переоценку» sqrt(10).

На самом деле совершенно необязательно, что округление приведёт к правильному ответу при дальнейших подсчетах. В нашем примере это ясно видно, если округлить sqrt(2) и sqrt(10) до двух знаков после запятой: sqrt(2) приблизительно 1,41, sqrt(10) приблизительно 3,16.

На этот раз оба округления в меньшую сторону! В результате 2*(1,41+3,16) = 9,14.

Округления в меньшую сторону привели к меньшему числу во втором знаке. Вот вам и разница в ответах! Правильнее всего, конечно, подсчитать ответ целиком и только потом округлить.

В математических исследованиях и подсчётах тоже зачастую удобно округлять по дороге. Даже в моих собственных статьях так бывает. В этом случае мы оцениваем все промежуточные ошибки округления и следим за тем, что с ними происходит при дальнейших вычислениях. Если такие ошибки накапливаются во что-то большое, то — увы и ах! — округлять «по дороге» нельзя. Приходится начинать заново и считать точнее…

Красота математики всегда восхищала людей искусства. Английский художник Уильям Блейк изобразил Исаака Ньютона, «отца матанализа», в образе Божественного Геометра.
(источник: wikimedia.org)

Ещё одно лирическое отступление. Как математики решают сложные нерешённые задачи

Когда в прошлом задании я «прицепила» к параболе треугольники, чтобы приблизительно прикинуть её длину, один из участников группы задал хороший вопрос: «А почему мы решили, что к параболе можно прикрепить треугольники?»

Это вопрос именно о том, как развивается математика. Изначально у нас есть задача. В данном случае: а посчитайте-ка нам длину параболы! А мы не знаем, как это сделать.

Практически любой результат в математике начинается с задачи, которую мы не умеем решать.

Как к этому подступиться? Мы начинаем вспоминать, что мы умеем такое, что нам может помочь.

Мы умеем считать длину отрезка между двумя точками на плоскости с известными нам координатами с помощью теоремы Пифагора. Координаты точек на параболе известны: если выбрать x, то y можно подсчитать. То есть можно подсчитать длину отрезка между любыми двумя точками на параболе, если мы каждый такой отрезок представим как гипотенузу прямоугольного треугольника.

Конечно, парабола не прямая! Но если точки достаточно близко друг к другу, то и отрезок между ними будет примерно той же длины, что и кусок параболы. Отсюда и идея пририсовать к параболе треугольники. Если бы мы не знали теорему Пифагора, то рисовать треугольники было бы бессмысленно.

В исследованиях по сей день точно так же: мы берёмся за задачу, если нам кажется, что что-то из наших имеющихся знаний поможет к ней подступиться.

Продолжаем. Бесконечно маленькие треугольники

В предыдущем задании мы получили первое приближение длины параболы: 9,15298245

Что же дальше? Некоторые участники уже догадались: треугольнички надо сделать поменьше! Посмотрите на следующий рисунок: теперь я нарисовала 6 треугольничков. Сразу видно, что сплошная красная линия сильно приблизились к параболе. Здесь длина красной линии 9,22402742972.

 
 

Наверное, вы уже сами догадались, как подобраться к длине параболы ещё ближе. Нужно делать треугольнички всё меньше и меньше, а их количество всё больше и больше! И именно так считают длину кривой в высшей математике. Как видите, ничего великого и ужасного тут нет.

Давайте разберёмся подробнее. На следующем рисунке самые маленькие треугольнички, которые мне удалось нарисовать. У одного из них справа я подписала стороны. Сторону, параллельную оси х, я обозначила dx, а сторону, параллельную оси у, обозначила dy.

 
 

Шажок dx по оси х мы задаём сами и можем сделать его всё меньше и меньше. А dy? Ну, если мы знаем, в какой точке x мы находимся, знаем dx и знаем формулу параболы, то dy, конечно, можно посчитать!

К подсчётам dy мы ещё вернёмся. Пока достаточно понимать, что dy можно посчитать и что dy уменьшается вместе с dx.

На рисунке я написала, что dx уменьшается. В математике мы говорим: «Стремится к нулю». Это обозначается стрелочкой, как на рисунке dx → 0.

Теперь включите ваше воображение. Что будет со сплошной красной линией, если dx будет уменьшаться и уменьшаться? Что будет, если dx станет бесконечно маленьким, а число треугольников — бесконечно большим? Ответ понятен: сплошная красная линия превратится в параболу!

Почему этот метод работает?

Суть в том, что при очень близком приближении любая «гладкая» кривая становится очень похожа на прямую. Эта простая идея — одна из основополагающих идей математического анализа.

Задание №2. Кривая превращается в прямую.

Давайте в этом убедимся своими глазами с помощью Интернета, на что похож график кривой, если его сильно приблизить, как вы приближаете карты на компьютере.

Посмотрите, я нарисовала нашу параболу с помощью замечательного сайта для вычислений Wolfram Alpha. Парабола выглядит немножко по-другому, чем на моём рисунке, из-за другого масштаба осей.

 

Я предлагаю вам самим построить кривые с помощью Wolfram Alpha. Поэтому давайте посмотрим, как выглядит команда:

  • plot означает «нарисовать график»;
  • x^2 — это, как вы помните, х в квадрате;
  • -2..2 (две точки посередине!) означает, что нам нужен график для х между -2 и 2;
  • plot(x^2,-2..2) означает «нарисовать график у равно х в квадрате, где х между -2 и 2».

В конце команды мы задаём, в каких пределах изменяется х. Это в точности то же самое, что смотреть карты в разном масштабе. Мы можем посмотреть на карту страны, потом приблизить и получить карту области, потом приблизить снова и получить нашу улицу. Так же и в Wolfram: -2..2 означает, что мы хотим увидеть «область» между х=-2 и х=2.

Теперь мы хотим приблизить и посмотреть на «улицу». Для этого мы посмотрим на ма-а-аленький интервальчик, например, х между 1 и 1.01. Для этого я немножко изменю команду: plot(x^2,1..1.01) (обратите внимание, что десятичная запятая обозначается точкой, то есть 1.01 означает 1,01).

Результат на рисунке ниже. Вот как выглядит вблизи наша парабола. Её не отличить от прямой!

 

ЗАДАНИЕ: Нарисуйте параболу или какую-нибудь другую кривую в Wolfram Alpha. «Приблизьте» её, как я, между 1 и 1.01, или выберите другой маленький участок, например, между 0.5 и 0.51.

(Кстати, если вы приблизите в районе нуля, то прямой не получится, это особенная точка, в районе нуля парабола останется параболой. Но если отойти от нуля и приблизить график достаточно сильно, то есть сделать интервал изменения х очень маленьким, то вы непременно увидите прямую.)

РЕШЕНИЕ и комментарии здесь.

Идём дальше. Что такое интеграл?

Конечно, треугольнички, даже самые маленькие — это всё-таки приближение. Вопрос о точном подсчёте у нас пока остался открытым. Как сложить бесконечное число бесконечно маленьких гипотенуз? Здесь теоремы Пифагора, увы, недостаточно. Здесь понадобился математический гений основателей анализа — Ньютона и Лейбница.

Бесконечная сумма бесконечного числа слагаемых — это и есть интеграл! Как это записать и как посчитать? На самом деле, всё по-прежнему логично и не сильно сложнее теоремы Пифагора!

Вступайте в группу, ждите следующих заданий, и мы попробуем вместе в этом разобраться.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

статьи по теме

Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 12

Учи, как New York Times

Audeamus igitur: фонд аудиолекций